Contoh Soal PAT Matematika IPS Kelas 11 Semester 2

Sobat Zenius, nggak kerasa kalau PAT udah di depan mata. Kira-kira, mata pelajaran apa yang bakal elo pelajari ulang? Kalau saat ini elo lagi belajar matematika, pas banget nih. Soalnya, gue akan kasih elo informasi seputar PAT Matematika IPS Kelas 11 Semester 2, mulai dari topik yang sering keluar dan pembahasannya.

Eits, sebelum kita beralih ke mode serius buat belajar matematika, gue bakal ngajak elo santai sedikit dengan cari tau fakta unik tentang angka.

Tau gak sih, ternyata huruf yang membentuk angka pertama dan terakhir dari kanan dan kiri itu sama, lho. Nggak cuma itu, kalau keduanya dijumlahkan, hasil yang akan keluar sama-sama angka 10.

Nggak percaya? Nih gue coba urutin.

• Satu dan Sembilan, jika dijumlahkan menjadi Sepuluh
• Dua dan Delapan, jika dijumlahkan hasilnya Sepuluh
• Tiga dan Tujuh, jika dijumlahkan jadi Sepuluh

Gimana, baru tau kan lo? Nah, setelah tau satu fakta unik dari matematika, saatnya lanjut belajar buat PAT, yuk!

Ujian PAT atau sering dikenal dengan ujian kenaikan kelas biasanya bakal mengeluarkan soal yang udah elo pelajari di semester 1 dan 2. Apa aja sih topik yang bakal keluar di PAT kali ini? 

1. Induksi Matematika
2. Program Linear
3. Matriks
4. Determinan Matriks
5. Invers Matriks
6. Transformasi 
7. Barisan dan Deret
8. Limit Aljabar
9. Turunan
10. Aplikasi Turunan
11. Integral Tak Tentu

Supaya elo ada gambaran kayak gimana soal-soal yang bakal keluar di PAT nanti, gue udah siapin sedikit materi juga beberapa contoh soal dan pembahasannya khusus buat elo. Jadi, disimak, ya!

Topik 1: Induksi Matematika

Induksi Matematika adalah metode yang digunakan untuk membuktikan suatu rumus atau formula matematika. Penggunaan metode ini memiliki catatan yaitu hanya bisa digunakan dengan bilangan tertentu.

Langkah menggunakan induksi matematika ini ada tiga, yaitu:

• Terbukti benar ketika nilai n = 1
• Dianggap benar ketika n = k, dengan catatan k adalah bilangan asli
• Terbukti benar ketika n = k + 1

Contoh cara mengaplikasikan induksi matematika. Nah, kita coba uji rumus di bawah ini yuk!

Diketahui 1 + 2 + 3 + … + n = , dengan n adalah bilangan asli

Sekarang kita coba ketiga langkah induksi di atas!

• Memasukkan nilai n = 1

1 = = 1 (Terbukti benar)

• Memasukkan nilai n = k

1 + 2 + 3 + … + k = (Dianggap benar)

• Memasukkan nilai n = k + 1

1 + 2 + 3 + …. + k +  (k + 1) = = .

(1 + 2 + 3 + …. + k) +   (k + 1) = = .

+ (k + 1) = .

+ = .

= .

Supaya lebih paham topik ini, coba elo lihat soal dan pembahasan di bawah yah!

1. Untuk setiap n 7 dan n bilangan asli, maka berlaku n! > 3n

Langkah yang harus dilakukan:

1. Melakukan pembuktian bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1
2. Membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 7
3. Membuktikan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka benar juga untuk n = k + 1

Dari ketiga langkah di atas, manakah langkah yang perlu dilakukan untuk membuktikan pernyataan di atas?

A. Langkah 1 saja
B. Langkah 2 saja
C. Langkah 1 dan 3 saja
D. Langkah 2 dan 3 saja
E. Tidak ada jawaban yang benar

Jawaban dan Pembahasan

Pada pilihan langkah induksi matematika di atas, hanya langkah satu yang tidak perlu dilakukan. Ini dikarenakan pernyataan pada soal tersebut benar hanya untuk  n ≥ 7, berarti pembuktian dimulai dari n = 7 dan seterusnya (bukan dari n = 1).

Jawabannya adalah, D.

Baca Juga: Pertanyaan yang Mungkin Tidak Kamu Pikirkan Saat Belajar Induksi Matematika

Topik 2: Program Linear

Program linear adalah model yang memiliki tujuan untuk optimasi masalah-masalah yang ada pada matematika. Nah, biasanya program linear ini tuh sering digunakan untuk masalah penentuan maksimum atau minimum harga penjualan, dan lainnya. 

Program linear ini punya 2 fungsi, yaitu fungsi sasaran dan fungsi kendala. Apa sih maksudnya?

• Fungsi Sasaran

Fungsi sasaran adalah fungsi yang menjadi tujuan dari suatu penyelesaian permasalahan program linear matematika. Fungsi ini bisa bernilai maksimum atau minimum, tergantung pada kasusnya. Contohnya:

f(x,y) = 100x + 50y

• Fungsi Kendala

Sedangkan fungsi kendala adalah fungsi yang menjadi batasan nilai input ke fungsi sasaran. Contohnya: 

x ≥ 5, y ≤1

x + 2y ≤ 10

Program linear juga punya karakteristik nih, yaitu:

1. Program linear bisa mengatasi masalah matematika dengan kendala-kendalanya dalam bentuk pertidaksamaan.
2. Program linear hanya terbatas pdengan fungsi objektif dan kendala linear, dan
3. Program linear dapat mengatasi kendala dengan jumlah banyak.

Supaya makin paham sama topik ini, lihat soal dan pembahasan yang ada di bawah ini yuk!

1. Terdapat dua bilangan yang mempunyai jumlah dan selisih yang berturut-turut adalah 19 dan 9. Jika kedua bilangan tersebut adalah a dan b dengan b > a, maka pemodelan matematika yang tepat adalah….

A. a + b = 19
a – b = 9

B. a + b = 19
b – a = 9

C. a – b = 19
b + a = 9

D. b – a = 19
a + b = 9

Jawaban dan Pembahasan

Pada soal di atas diketahui terdapat:

• Dua bilangan a dan b
• b > a
• Jumlah 19
• Selisihnya 9

Jadi, pemodelan matematika yang tepat adalah

• a + b = 19
• b – a = 9

Jawaban untuk soal ini adalah B.

Baca Juga: Pengertian Program Linear Beserta Grafik dan Contoh Soalnya

Topik 3: Matriks

Matriks merupakan kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun secara baris atau kolom atau keduanya yang berada di dalam suatu tanda kurung. Biasanya, matriks ini berfungsi untuk memproses lebih dari satu aljabar sekaligus. 

Nah, kenalan sama unsur-unsur yang ada di dalam matriks yuk!

Selain itu, ada beberapa istilah-istilah matriks, apa aja?

• Matriks baris
• Matriks kolom
• Matriks persegi
• Matriks nol
• Matriks skalar
• Matriks diagonal
• ‘Matriks identitas
• Matriks transpose
• Matriks ekuivalen

Gimana yah cara melakukan operasi hitung pada matriks ini? Nah, ada beberapa syarat yang harus diperhatikan nih, yaitu:

• Penjumlahan dan pengurangan. Pada penjumlahan dan pengurangan yang harus diperhatikan adalah matriks tersebut harus memiliki ordo yang sama.
• Perkalian pada perkalian ada dua cara yang bisa elo pakai, yaitu:

Bilangan skalar, jika menggunakan cara ini setiap nilai entri dalam suatu matriks dikalikan dengan bilangan skalar. 

2 matriks. Jika menggunakan cara ini, yang harus elo lakuin adalah mengekalkan jumlah kolom matriks pertama dengan jumlah baris matriks yang bernilai sama. 

Biar lebih paham sama topik ini, simak soal dan pembahasan di bawah yuk!

1. Diketahui A merupakan matriks dengan ordo 2 x 3. Hasil perkalian 5A akan sama dengan?

A. AAAAAA
B. A + A + A+ A + A
C. A + A+ A + A + A + A
D. AAAAAA
E. Hasil operasi tidak ada yang sesuai

Jawaban dan Pembahasan

Hasil dari 5A berarti menjumlahkan A sebanyak 5 kali. Selain itu, elo juga bisa nulis sebagai A + A + A+ A + A. Jadi, jawaban paling tepat adalah yang B. 

Baca Juga: Operasi Hitung pada Matriks Beserta Contoh Soalnya

Topik 4: Transformasi

Transformasi merupakan perubahan, pada topik ini transformasi dilakukan pada geometri dengan bantuan matriks. Transformasi geometri adalah perubahan rupa yang dapat dilihat dari beberapa hal, yaitu dari garis, sudut, bidang, dan juga ruang. 

Nah, contoh simpel dari transformasi geometri ini adalah ketika elo sedang berswafoto, maka terdapat 2 diri elo, yaitu diri elo yang asli dan diri elo yang ada di layar ponsel. Nah, kalau dalam transformasi ini nih, diri elo yang asli diibaratkan dengan (x, y), sedangkan elo yang ada di layar ponsel adalah (x’, y’).

Ada beberapa istilah yang harus elo tau di topik transformasi ini, yaitu:

• Translasi adalah pergeseran atau perpindahan titik yang terdapat di sepanjang  garis lurus.
• Refleksi adalah pencerminan atau perpindahan yang biasa elo temui ketika elo bercermin.
• Rotasi adalah perputaran atau bentuk transformasi geometri yang titiknya berputar sebesar derajat, 90 derajat, 180 derajat, atau 270 derajat.
• Dilatasi adalah perkalian atau perubahan ukuran dari suatu titik atau objek.

Kita simak soal dan pembahasan dari topik ini dulu yuk!

1. Bayangan titik (5,−12) yang dilatasi faktor skala 3 dengan titik pusat di titik asal adalah…

A. (-36, 15)
B. (36,15)
C. (15, 36)
D. (-15, -36)
E. (15, -36)

Jawaban dan Pembahasan

Pada soal di atas diketahui bayangan titik (5,−12) yang dilatasi faktor skala 3. Maka, titik pusat di titik asal adalah (3(5),3=(15,-36). Jawaban paling tepat adalah E.

Baca Juga: Transformasi Geometri: Definisi, Jenis, dan Rumus

Topik 5: Barisan dan Deret

Barisan aritmatika merupakan suatu barisan dengan selisih atau beda jumlah antar suku yang berurutan dan tetap. Contohnya:

1, 4, 7, 10, 13, 16, …. .

Berapa perbedaan setiap suku yang ada di atas? Yup, ener banget perbedaannya adalah 3!

Selain itu, ada juga deret aritmatika, yaitu penjumlahan suatu barisan yang mana barisannya itu punya selisih berbeda setiap sukunya, namun berurutan tetap. Contohnya:

(5), (5+9), (5+9+12), (5+9+13+15),… .

Coba, kalau ini berapa bedanya? Berbeda beda yah? Selisih suku pertama dan kedua itu 9, suku kedua dan ketiga itu 12, dan suku ketiga ke suku terakhir itu 15. Tapi nih, kalau elo liat selisih antara 9 ke 12 adalah 3 dan selisih 12 ke 15 itu juga 3. Jadi, sama kan?

Nah, supaya elo lebih mantap lagi paham sama topik ini, kita lihat soal dan pembahasan berikut!

1. Diketahui jumlah 6 suku pertama dari deret 2+6+10 ….. adalah ….

A. 82
B. 92
C. 62
D. 52
E. 72

Jawaban dan Pembahasan

Nah, untuk mengetahui jumlah suku pertama dari deret 2+6+10 ….. ini, elo bisa pakai rumus berikut:

.

Diketahui: a=2, b=4, dan n=6.

Langsung aja elo masukin angka-angka ini ke rumus tadi!

.

.

S₆ = 72

Jadi, jawaban yang paling tepat adalah yang E.

Baca Juga: Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya

Topik 6: Limit Aljabar

Limit merupakan nilai yang menggunakan pendekatan fungsi saat mendekati nilai tertentu. Contohnya, terdapat limit f(x) mendekati c sama dengan N , maka pernyataan ini ditulis sebagai berikut:

.

Jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c tetapi x c, f(x) mendekati N.

Oh iya, limit fungsi ini juga punya sifat-sifat lho. Sifat-sifat ini bisa ditentukan jika n merupakan sebuah bilangan bulat yang positif, f dan g adalah fungsi yang memiliki limit di c, dan k adalah konstanta. Perhatikan sifat-sifat limit fungsi berikut yah!

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .

Gue sediakan satu contoh soal dan pembahasan buat elo nih, disimak yah!

Jika f(x) = x+2 dan g(x)=x, maka = ….

A. 6
B. 8
C. 12
D. 16
E. 64

Jawaban dan Pembahasan

.

.

Jadi, jawaban yang benar adalah yang D.

Baca Juga: Memahami Limit Fungsi Aljabar – Materi Matematika Kelas 11

Topik 7: Turunan

Turunan merupakan pengukuran tentang bagaimana fungsi akan berubah seiring perubahan nilai dimasukkan. Umumnya sih,turunan itu bakal tunjukin gimana sebuah besaran akan terus berubah ketika akibat adanya besaran lainnya menunjukkan bagaimana besaran akan berubah akibat besaran lainnya. 

Jika turunan diaplikasikan menggunakan limit yang sudah elo pelajari sebelumnya, maka turunan dapat didefinisikan seperti berikut:

.

Bagaimana yah turunan ini diterapkan dalam matematika?

• Turunan bisa diterapkan  untuk menghitung gradien dari garis singgung kurva
• Turunan bisa diterapkan sebagai penentu nilai stasioner suatu fungsi
• Turunan bisa digunakan untuk menentukan interval yang fungsinya naik dan turun
• Turunan dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan gerak.

Turunan juga memiliki rumus, yaitu:

• f(x) = c, c merupakan konstanta dan turunan dari fungsi ini adalah f'(x) =0
• f(x) =x. turunan dari fungsi ini adalah f'(x)=1
• f(x)=axⁿ. turunan dari fungsi ini adalah f'(x) = anx^n-1
• Penjumlahan fungsi h(x)=f(x)+g(x). turunan ini memiliki fungsi h'(x)=f'(x)+g'(x)
• Pengurangan fungsi h(x)=f(x)-g(x). turunan ini memiliki fungsi h'(x)=f'(x)-g'(x)
• Perkalian dengan fungsi (kf)(x). turunan ini memiliki fungsi k . f'(x)

Nah, sekarang coba perhatikan contoh turunan fungsi berikut yuk!

Jika terdapat fungsi f(x)=2x², maka turunan dari fungsi tersebut adalah f'(x)=2(2)x^2-1 = 4x² 

Supaya makin ngerti sama topik ini, kita lihat contoh soal dan pembahasannya di bawah ini yuk!

1. Jika f'(x) adalah turunan dari f(x)=x¹⁰⁰. maka berapa nilai f'(1)?

A. 99
B. 100
C. 101
D. 0
E. 1

Jawaban dan Pembahasan

f'(x)=100x¹⁰⁰=100x⁹⁹

x=1f'(1)=100(1)⁹⁹=100

Maka, jawaban yang paling tepat adalah B.

Baca Juga: Turunan Fungsi Aljabar – Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal

Topik 8: Integral Tak Tentu

Integral merupakan anti-differential. Teknik integral ini merupakan bagian dari kalkulus yang memiliki rumus sebagai berikut:

f f'(x)dx=f(x)+C

C pada rumus tersebut adalah konstanta yang masih belum tahun berapa nilainya. Oleh karena itu, integral ini disebut dengan integral tak tentu,

Rumus dasar integral tak tentu yang bisa elo pakai ada 2, yaitu:

• 
• 

Sedangkan ada beberapa penerapan teknik integral tak tentu yang biasa digunakan dalam bidang fisika dan matematika:

• Konsep jarak-kecepatan-percepatan

v(t)=f a(t)dt dan s(t)=f v(t)dt

Keterangan:

s(t): fungsi keterangan terhadap waktu
v(t): fungsi kecepatan terhadap waktu
a(t): fungsi percepatan terhadap waktu

• Dapat mengetahui f(x) jika f'(x) dan f(a) diketahui.
• Dapat mengetahui f(x) jika persamaan gradien garis singgung dan titik singgung yang diketahui.

Kita simak soal dan pembahasan dari topik ini yuk!

1. Hasil dari f y¹²d(y³) adalah…

A. 1/13y¹³+c
B. 1/5y⁵+c
C. 1/5y¹²+c
D. 1/5y¹⁵+c
E. 1/15y¹⁵+c

Jawaban dan Pembahasan

f y¹²d(y³) = f(y³)⁴d(y³) = 1/5(y³)⁵+c = 1/5y¹⁵+c

Jawaban yang tepat adalah C.

Baca Juga: Sifat & Rumus Integral Tak Tentu – Materi Matematika Kelas 11

Itu dia materi, soal, sampai pembahasan PAT Matematika yang udah gue rangkum khusus buat elo.  Supaya semakin yakin buat mengikuti ujian ini, mending coba kerjain lagi prediksi soal PAT Matematika yang tersedia lengkap di Zenius. Langsung aja klik banner di bawah ini!

Referensi

Materi Belajar Matematika – Zenius Education
Pembahasan Limit Fungsi Beserta Limit Menuju Tak Hingga – Zenius Education (2022)
Sifat dan Rumus Integral Tak Tentu – Zenius Education (2022)
Transformasi Geometri: Definisi, Jenis, dan Rumus – Zenius Education (2022)