Pengertian Program Linear Beserta Grafik dan Contoh Soalnya

Pengertian program linier, grafik, dan contohnya dalam kehidupan sehari-hari.

Secara nggak sadar, elo sering mengaplikasikan program linear dalam kehidupan sehari-hari. Seperti saat meminum obat sesuai dosis yang diberikan dokter, penggunaan lahan parkir, dan menghitung stok barang dagangan supaya nggak rugi.

Elo pernah menemukan suatu momen di mana elo harus menentukan batas maksimum dan minimum, nggak? Misalnya, elo lagi sakit, terus disuruh minum obat sama dokter. Obat yang harus elo minum itu dosisnya 3x sehari. Artinya, elo harus minum obat itu nggak boleh lebih atau kurang dari 3x sehari.

Contoh lainnya ketika orang tua elo membuka warung di rumah. Yang namanya orang jualan, pasti ingin mendapatkan keuntungan, kan? Begitu pun dengan orang tua elo.

Misalnya, orang tua elo lagi ngitung stok dagangan di warung. Ada suatu produk bumbu dapur dengan merek A yang dibeli dengan harga Rp6.000 dan dijual dengan laba Rp400 per bungkus, sedangkan merek B dibeli dengan harga Rp3.000 dan dijual dengan laba Rp300 per bungkus.

Kira-kira, berapa banyak bumbu dapur merek A dan B yang harus dibeli orang tua elo, jika modal yang dimiliki hanya Rp240.000 dan warung elo hanya bisa menampung maksimal 500 bungkus bumbu dapur? Tentukan juga keuntungan maksimum yang akan orang tua elo dapatkan!

Kebayang nggak, gimana cara menyelesaikan kasus tersebut?

Nah, kasus-kasus seperti itu ternyata bisa diselesaikan dengan menggunakan program linear, lho. Di sini, elo akan mempelajari materi program linear kelas 11.

Namun, sebelum ke situ, elo perlu paham dulu mengenai persamaan dan pertidaksamaan linear. Jadi, sekarang gue bahas dulu secara singkat mengenai persamaan dan pertidaksamaan linear, ya.

Persamaan Linear

Elo masih ingat nggak, bentuk persamaan linear itu seperti apa? Gini, ya.

y = mx + c

Atau,

ax + by + c = 0

Ingat, yang namanya persamaan linear, hasilnya sudah pasti garis lurus! Jadi, kita hanya perlu mengecek minimal dua titik pada suatu persamaan. Selain itu, elo juga bisa mengecek gradien pada garis lurus tersebut.

Kalau bentuk persamaan linearnya y = mx + c, cara menentukan nilai gradien atau kemiringan garisnya nggak sulit. Karena, nilai m itulah gradiennya. Jadi, m = gradien.

Kalau bentuknya A (x1, y1) dan B (x2, y2), maka gradiennya bisa elo cari menggunakan persamaan berikut ini.

Pengertian Program Linear Beserta Grafik dan Contoh Soalnya 17

Kalau elo bertanya-tanya, persamaan tersebut diperoleh dari mana? Kok, bisa jadi seperti itu? Elo bisa cek penjelasannya di sini, ya!

Contoh Soal Menentukan Gradien Garis dari Persamaan y = mx + c

Supaya makin paham sama uraian di atas, kita langsung meluncur ke contoh soalnya, ya. Nih, gue punya soal tentang mencari gradien garis dari suatu persamaan linear.

Gradien garis untuk ½ y = 2x – 4 adalah ….

Gimana cara menyelesaikan permasalahan di atas? Elo nggak perlu bingung, coba ingat lagi bentuk y = mx + c, di mana nilai m mewakili gradien garis pada suatu persamaan linear. Artinya, kita perlu ubah dulu nilai ½ y = 2x – 4 menjadi bentuk y = mx + c.

½ y = 2x – 4

y = 2(2x – 4)

y = 4x – 8

Nah, sekarang kita sudah menemukan nilai m, yaitu 4. Sehingga, gradien garis dari persamaan linear ½ y = 2x – 4 adalah 4.

Selanjutnya, kalau yang diketahui titik-titiknya saja, gimana cara elo menentukan nilai gradiennya?

Contoh Soal Menentukan Gradien Garis dari A (x1, y1) dan B (x2, y2)

Misalnya gini, ada suatu garis yang melalui titik A (2, 4) dan B (1, 5). Elo diminta untuk menentukan gradien dari garis yang melalui kedua titik tersebut.

Gimana caranya? Kita uraikan nilai x dan y pada masing-masing titik, ya.

A (2,4) → nilai x1 = 2 dan y1 = 4.

B (1, 5) → nilai x2 = 1 dan y2 = 5.

Kalau sudah diperoleh nilai x dan y pada setiap titik, selanjutnya elo masukkan angkanya ke rumus gradien.

Pengertian Program Linear Beserta Grafik dan Contoh Soalnya 18

Jadi, gradien garis yang melalui titik A (2, 4) dan B (1, 5) adalah -1.

Lalu, gimana caranya kalau elo diminta untuk menentukan persamaan linear dari titik A (2, 4) dan B (1, 5)? Kebayang nggak, gimana langkah penyelesaiannya?

Oke, elo sudah paham sampai tahap mencai gradien garis. Selanjutnya, elo tentukan persamaan linearnya menjadi bentuk ini.

y – y1 = m (x – x1)

Langsung saja masukkan angka-angkanya ke bentuk persamaan di atas!

y – y1 = m (x – x1)

y – 4 = -1 (x – 2)

y – 4 = -1x + 2

y = -x + 6

Nah, itu dia bentuk persamaan linear dari suatu garis yang melalui titik A (2, 4) dan B (1, 5) dengan diameter -1. Paham ya sampai sini?

Baca Juga: Persamaan Linear Dua Variabel – Metode Eliminasi dan Substitusi

Selanjutnya, program linear juga nggak lepas dari pertidaksamaan linear. Jadi, elo perlu memahami materi yang satu ini juga, ya!

Pertidaksamaan Linear

Kalau suatu persamaan menggunakan notasi sama dengan (=), maka pertidaksamaan nggak menggunakan sama dengan. Lalu, pertidaksamaan pakainya notasi apa, dong?

Pertidaksamaan menggunakan notasi kurang dari (<), lebih dari (>), kurang dari atau sama dengan (≤), dan lebih dari atau sama dengan (≥). Jadi, kalau digambarkan dalam bentuk grafik, maka pertidaksamaan linear akan membentuk daerah di sebelah kanan atau kiri garis. Gimana gimana? Oke, gue uraikan pelan-pelan, ya.

Misalnya, elo diminta untuk menghitung daerah pertidaksamaan dari x + y ≤ 3 dan x + 2y ≤ 4, dengan ketentuan x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Perhitungannya bisa elo perhatikan pada gambar di bawah ini.

contoh soal dan pembahasan daerah pertidaksamaan linear dari titik x + y ≤ 3 dan x + 2y ≤ 4.
Daerah pertidaksamaan dari x + y ≤ 3 dan x + 2y ≤ 4. (Arsip Zenius)

Gimana, paham ya sampai sini? Elo bisa mempelajari lebih dalam tentang pertidaksamaan linear di bawah ini.

Baca Juga: Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel – Matematika Wajib Kelas 10

Pengertian Program Linear

Setelah mengulas kembali materi persamaan dan pertidaksamaan linear, sepertinya elo sudah mulai siap masuk ke pembahasan program linear, nih.

Contoh program linear dalam kehidupan sehari-hari sudah gue kasih di awal, yaitu tentang penentuan jumlah produk yang harus dibeli dan cara menentukan keuntungan maksimumnya. Intinya, program ini diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari yang menggunakan prinsip “terbesar/maksimum” atau “terkecil/minimum”.

Dengan kata lain, ada batasan-batasan maksimum dan minimum untuk dijadikan sebagai patokan.

Selain contoh di atas, prinsip-prinsip dari program tersebut juga bisa ditemukan pada proyek pembangunan perumahan, penggunaan tanah untuk lahan parkir, dan pemakaian obat sesuai anjuran dokter untuk pasiennya.

Gue ambil contoh pada penggunaan tanah untuk lahan parkir, ya. Misalnya gini, sebuah lahan parkir diperuntukkan bagi motor dan mobil. Diketahui luas tempat parkir tersebut 100 m2 dan menampung maksimal 100 kendaraan. Luas parkir yang dibutuhkan 1 mobil adalah 8 m2 dan untuk 1 motor membutuhkan 2 m2.

Nah, dari contoh kasus di atas, kita bisa buatkan pertidaksamaan yang menggambarkan kondisi di atas. Caranya, tentukan dulu luasnya, yaitu 8x + 2y ≤ 100 disederhanakan menjadi  4x + y ≤ 50.

Kemudian, tentukan jumlahnya, yaitu x + y ≤ 100. Karena kasus di atas melibatkan mobil dan motor pengguna parkir, maka kita harus menetapkan syarat positif, yaitu x ≥ 0 dan y ≥ 0. Jadi, sistem pertidaksamaan dari kasus di atas adalah x + y ≤ 100, 4x + y ≤ 50, x ≥ 0, y ≥ 0. Jelas ya, sampai sini?

Kalau elo lihat aplikasinya, kira-kira elo sudah bisa mendefinisikan pengertian program linear, belum?

Program linear adalah metode optimasi yang digunakan untuk menemukan nilai optimum dari suatu fungsi pada suatu daerah.

Program ini merupakan salah satu bagian dari matematika terapan yang terdiri dari persamaan dan pertidaksamaan linear. Itulah mengapa gue mengajak elo untuk mempelajari dan mengulas kembali materi persamaan dan pertidaksamaan linear.

Nah, penyelesaian permasalahan yang terkait program ini tuh dalam bentuk grafik pertidaksamaan linear. Jadi, ada yang namanya daerah tertutup (syarat maksimum fungsi objektif) dan daerah terbuka (syarat minimum fungsi objektif).

Untuk menyelesaikan kasus di atas, kita bahas di poin selanjutnya, ya.

Grafik Program Linear

Hal yang perlu elo perhatikan saat membuat grafik program linear adalah dengan menentukan fungsi tujuannya terlebih dahulu. Fungsi tujuan atau objektif bisa dinotasikan sebagai berikut.

f(x, y) = ax + by

Untuk mencari nilai optimum dari bentuk persamaan di atas, elo cari dulu nilai persamaan tersebut untuk setiap titik dari daerah penyelesaiannya. Lalu, bandingkan dengan nilai maksimum dan minimumnya.

Kita langsung masuk ke penyelesaian kasus di warung orang tua elo, ya. Perhatikan caranya di bawah ini.

Cara menghitung nilai optimum program linear.
Cara penyelesaian kasus pedagang menggunakan program linear. (Arsip Zenius)

Paham, kan sampai sini? Uraian di atas bisa elo pelajari menggunakan video belajar Zenius dengan klik banner di bawah ini.

belajar matematika zenius

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasannya

Untuk menguji sejauh mana pemahaman elo mengenai materi program linear, gue ada beberapa contoh soal dan pembahasan yang bisa dijadikan sebagai referensi. Cekidot!

Contoh Soal 1

Diketahui:

3x + y ≥ 6

x + 2y ≤ 12

x ≥ 0

y ≥ 0

Jika fungsi objektifnya adalah f(x, y) = 30x + 15y, maka tentukan nilai maksimumnya!

Jawab: 360.

Pembahasan:

Dari persamaan 3x + y = 6, diperoleh:

  • Jika x = 0, maka y = 6 atau (0,6).
  • Jika y = 0, maka x = 2 atau (2,0).

Dari persamaan x + 2y = 12, diperoleh:

  • Jika x = 0, maka y = 6 atau (0,6).
  • Jika y = 0, maka x = 12 (12, 0).

Dari mana nilai x dan y di atas ditentukan? Caranya menggunakan metode eliminasi di bawah ini.

3x + y = 6             |x1|         3x + y = 6

x + 2y = 12           |x3|         3x + 6y = 36

                                      ______________ _

                                                    5y = 30

                                                      y = 6

Dari metode eliminasi di atas, maka x + 2y = 12 → x = 12 – 2y = 12 – (2.6) = 12 – 12 = 0 atau (0,6).

Begitu seterusnya hingga diperoleh titik-titik yang menjadi pembatas himpunan penyelesaiannya, yaitu (0,6), (2,0), dan (12,0).

  • f(0,6) = 30(0) + 15(6) = 90.
  • f(2,0) = 30(2) + 15(0) = 60.
  • f(12,0) = 30(12) + 15(0) = 360.

Jadi, nilai maksimumnya adalah 360.

Contoh Soal 2

Dari contoh soal 1, diketahui:

3x + y ≥ 6

x + 2y ≤ 12

x ≥ 0

y ≥ 0

Nilai maksimum dari pertidaksamaan linear tersebut adalah 360. Buatlah grafik daerah penyelesaian dari pertidaksamaan di atas!

Jawaban dan pembahasan:

Dari pembahasan pada contoh soal 1, kita sudah memperoleh titik-titik yang menjadi pembatas himpunan penyelesaiannya, yaitu (0,6), (2,0), dan (12,0).

Sekarang, kita coba dulu menghitung titik (0,0) pada persamaan 3x + y ≥ 6 → 3(0) + 0 ≥ 6 → 0 ≥ 6. Apakah 0 lebih besar dari 0? Salah, kan? Artinya, daerah penyelesaiannya ada di kanan garis atau bagian atas.

Kalau digambarkan dalam bentuk grafik, akan diperoleh daerah penyelesaian sebagai berikut.

Cara menentukan nilai maksimum dan grafik program linear.
Grafik daerah penyelesaian dari 3x + y ≥ 6 dan x + 2y ≤ 12. (Arsip Zenius)

Contoh Soal 3

Harga dua buah apel dan tiga buah jeruk nggak lebih dari dua puluh ribu rupiah. Misalkan kita namakan x untuk apel dan y untuk y, maka jika dituliskan dalam bentuk pertidaksamaan linear akan menjadi ….

A. 2x + 3y = 20.000.

B. 3x + 2y > 20.000.

C. 2x + 3y ≥ 20.000.

D. 2x + 3y ≤ 20.000.

Coba elo kerjakan sendiri ya, kalau sudah, elo bisa share jawabannya di kolom komentar!

*****

Gimana nih, sampai sini udah paham belum, tentang program linier? Buat yang lebih menyukai belajar dengan nonton video, elo bisa mengakses materi UTBK lainnya di video Zenius. Elo juga bisa mencoba melatih kemampuan dengan level soal yang mirip UTBK beneran di Try Out bareng Zenius.

Baca Juga: Persamaan Garis Lurus – Pengertian, Rumus, Sifat, dan Grafik

Referensi:

Modul Matematika — Kemdikbud (2019).

Bagikan Artikel Ini!