Mengenal rumus, sifat, dan contoh soal limit trigonometri di materi Matematika kelas 12.

Limit Trigonometri – Rumus, Sifat, dan Contoh Soal – Materi Matematika Kelas 12

Pas dengar istilah trigonometri, elo pasti sering berpikir kalau materi ini susah buat dipelajari. Hmm, pemikiran kayak gini wajar, sih. Karena, selain harus paham sama konsep dasar segitiga, elo juga harus tahu cara menghitung sin, cos, dan tan. Dan juga, materi ini ternyata juga punya kaitan sama materi lain di Matematika. Salah satunya limit atau dikenal sebagai limit trigonometri.

Wah, kelihatannya bakal lebih sulit, ya? Tapi, tenang aja. Kalau elo baca artikel ini sampai selesai, elo pasti bisa memahami limit trigonometri. Mulai dari pengertian, rumus, sifat, sampai cara mengerjakannya.

Oh iya, selain masuk jadi materi Matematika kelas 12, limit trigonometri juga sering muncul di soal UTBK, lho. Makanya, langsung aja kita bahas bareng-bareng, yuk!

Apa Itu Limit Trigonometri?

Sesuai namanya, kalau mau paham tentang limit trigonometri, elo harus tahu dulu apa pengertian dari limit dan trigonometri.

Nah, limit sendiri adalah suatu batasan nilai yang menggunakan pendekatan fungsi. Dengan kata lain, limit merupakan nilai yang didekati oleh suatu fungsi saat mendekati nilai tertentu.

Biar semakin paham, coba lihat bentuk umum dari limit fungsi di bawah.

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 241

Dari contoh di atas, bisa dikatakan kalau limit f(x) mendekati C nilainya akan sama dengan L, jika dan hanya jika limit kiri dan limit kanannya mendekati L.

Penjelasan selengkapnya tentang limit fungsi bisa elo baca di artikel Memahami Limit Fungsi Aljabar – Materi Matematika Kelas 11.

Trigonometri berasal dari dua kata bahasa Yunani yaitu trigonon dan metron.
Asal kata trigonometri dari bahasa Yunani. (Arsip Zenius)

Sekarang, lanjut ke pengertian trigonometri. Trigonometri adalah cabang ilmu Matematika yang berkaitan dengan fungsi sudut dan penerapannya pada segitiga.

Kalau elo mau baca-baca lebih lanjut soal trigonometri, penjelasannya ada di artikel Materi Trigonometri, Rumus Sin Cos Tan & Pembahasannya, atau tonton video penjelasannya di bawah ini.

Gimana? Dari pengertian di atas elo udah bisa tahu apa yang dimaksud sama limit trigonometri?

Jadi, limit trigonometri adalah nilai yang mendekati suatu sudut fungsi trigonometri. Cara hitungnya mirip dengan limit fungsi aljabar, tapi di sini, ada fungsi trigonometri yang harus diubah lebih dulu.

Nah, limit trigonometri ini punya rumus penting. Salah satunya, saat diketahui limit x mendekati 0 dari sin x dibagi x sama dengan 1. Maka, penulisan rumusnya adalah sebagai berikut:

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 242

Tapi, seperti yang udah elo tahu. Di trigonometri nggak cuma ada sin, tapi juga tan. Makanya, sekarang kita coba pakai rumus di atas untuk kasus yang memiliki tan di dalamnya. Misalnya:

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 243

Coba elo ingat-ingat lagi, tan itu apa sih? Iya, tan adalah sin dibagi cos. Jadi, tan x di atas bisa kita ubah menjadi sin x dibagi cos x. Terus, karena ada bentuk yang sama dengan rumus sebelumnya, elo bisa ubah lagi bentuknya jadi seperti di bawah ini.

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 244

Setelah baca pengertian dan lihat contoh bentuk limit trigonometri, elo pasti jadi berpikir “Sebenarnya apa sih fungsi penghitungan limit trigonometri? Kenapa gue harus belajar materi ini susah-susah, ya?”.

Eits, nggak usah bingung. Sini, gue kasih tau! 

Baca Juga: Kupas Tuntas Rumus Kalkulus Dasar: Limit, Turunan, dan Integral

Manfaat Limit Trigonometri dalam Kehidupan

Tanpa elo sadari, ada banyak aplikasi limit trigonometri dalam kehidupan. Salah satu yang paling dekat adalah di bidang kedokteran.

Coba gue tanya, elo pasti sering lihat orang pakai kacamata, kan? Udah tahu belom, kalau ternyata kacamata lensa cekung yang orang-orang pakai itu memanfaatkan limit trigonometri?

Bagi orang-orang yang mengalami rabun jauh, mereka membutuhkan kacamata lensa cekung agar bisa melihat lebih jelas. Nah, perhitungan di lensanya menggunakan bantuan limit trigonometri.

Aplikasi limit trigonometri salah satunya pada lensa cekung. Pendekatan ini digunakan untuk menghitung besarnya jarak dari pusat optik atau lensa cekung (concave lens) ke titik fokus utama (principal focal length)
Limit trigonometri digunakan untuk menghitung jarak fokus lensa cekung atau focal length. (Arsip Zenius, Dok. Mammoth Memory)

Jadi, untuk mengetahui seberapa besar masalah rabun jauh yang dialami, dokter bakal menguji jarak pandang pasiennya. Dari situ, dokter bisa menentukan jarak fokus lensa cekung yang nantinya digunakan pasien. Nah, di sinilah peran limit trigonometri, yaitu untuk menghitung jarak fokus lensa cekung.

Nggak hanya itu, limit trigonometri juga digunakan untuk menghitung rotasi bumi atau benda lainnya yang berbentuk elips, menghitung kerusakan jantung menggunakan USG, serta mengetahui besarnya perpindahan kalor, kecepatan, dan percepatan.

Tuh, kan! Banyak banget kegunaan dari limit trigonometri. Nah, buat memanfaatkannya, elo harus tau dulu dong gimana cara menghitungnya.

Dari rumus penting yang sebelumnya gue tulis, sebenarnya elo bisa dapat bentuk umum limit trigonometri lainnya, salah satunya 

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 245

Tapi, nggak cuma itu, lho. Masih banyak bentuk umum limit trigonometri lain. Jadi, langsung aja kita bahas bareng-bareng, yuk!

Baca Juga: Asal-Usul dan Pembuktian Konsep Trigonometri

Bentuk-Bentuk Umum Limit Trigonometri

Gue ulang sedikit, ya. Sebelumnya, gue udah tulis dua rumus limit trigonometri, di antaranya

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 242

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 245

Dari kedua rumus di atas, elo bisa menemukan bentuk umum lainnya. Caranya, elo bisa menambahkan koefisien lain di dalam rumus, misalnya m dan n. Dengan begitu, proses hitungnya bakal seperti di bawah ini.

Proses menemukan bentuk-bentuk umum limit trigonometri dari rumus awal limit x mendekati 0 dari sin x dibagi x sama dengan 1.
Bentuk umum limit trigonometri ketika dimasukkan koefisien m dan n. (Arsip Zenius)

Kalau elo udah coba utak-atik rumus-rumus sebelumnya beberapa kali, elo bakal dapat bentuk umum lainnya dari limit trigonometri. Di bawah ini, gue coba tuliskan delapan bentuk umum dari limit trigonometri.

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 248

Kalau elo perhatikan, semua hasil dari bentuk-bentuk umum di atas adalah m/n. Iya, memang benar begitu. Karena inti dari bentuk-bentuk umum limit trigonometri adalah hasil koefisien dari x yang atas dan koefisien dari x yang bawah. 

Nah, biar nggak bertanya-tanya gimana cara mengerjakan limit trigonometri dari rumus umum di atas, gue kasih satu contohnya, ya. Coba perhatikan soal berikut.

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 249

Karena Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 250, maka cara menghitungnya adalah

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 251

Wah, ternyata kalau sudah tahu konsep dan bentuk umumnya, soal limit trigonometri bisa elo kerjain dengan cepat, kan?

Selain bentuk umum, ada hal lain yang perlu elo pahami dalam limit trigonometri. Yes, elo harus tahu apa saja prinsip dasar limit trigonometri yang menjadi sifat-sifatnya. 

Baca Juga: Pertidaksamaan Trigonometri dan Cara Penyelesaiannya

4 Sifat Limit Trigonometri

Sifat-sifat limit trigonometri penting banget buat elo pahami. Karena, sifat-sifat ini jadi bekal mendasar yang elo butuhkan untuk menyelesaikan soal limit trigonometri. Jadi, langsung aja kita simak apa aja sifatnya.

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 252

Sifat ini sama dengan sifat limit fungsi aljabar. Di sifat ini, limit x menuju a dari f(x) akan mempunyai nilai L atau akan sama dengan f(a) kalau f(a)-nya bukan Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 253.

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 254

Artinya, limit x menuju a dari f(x) kurang tambah g(x) sama dengan limit x menuju a dari f(x) kurang tambah limit x menuju a dari g(x).

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 255

Maksud dari sifat ini adalah limit x menuju a dari f(x) dikali g(x) nilainya akan sama dengan limit x menuju a dari f(x) dikali limit x menuju a dari g(x).

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 256

Artinya, limit x menuju a dari f(x) dibagi g(x) sama dengan limit x menuju a dari f(x) dibagi limit x menuju a dari g(x), asalkan syaratnya limit x menuju a dari g(x) tidak sama dengan 0. Karena, jika g(x) itu adalah 0, hasilnya akan tidak terdefinisi.

Di limit trigonometri, ada juga bentuk khusus yang disebut dengan teorema apit. Elo tahu apa maksudnya?

Baca Juga: Berkenalan sama 4 Rumus Turunan dalam Matematika dan Fisika

Teorema Apit Limit Trigonometri

Teorema apit digunakan untuk menghitung batas fungsi trigonometri yang sulit atau nggak bisa diselesaikan dengan cara umum. Dengan teorema ini, elo bisa menghitung limit suatu fungsi dengan membandingkan dua fungsi lain yang limitnya sudah diketahui atau ditentukan secara pasti. 

Contohnya, diketahui ada tiga fungsi yaitu g(x), f(x), dan h(x). Ketiganya memenuhi sebuah kondisi di mana

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 257

Grafik teorema apit menunjukkan bahwa sebuah fungsi diapit oleh dua fungsi lain sehingga mempunyai nilai limit yang sama.
Grafik teorema apit dalam limit trigonometri. (Arsip Zenius, Dok. Byju’s)

Nah, hal yang perlu elo ingat, g(x), f(x), dan h(x) nggak hanya berlaku pada satu titik atau beberapa titik. Tapi, harus berlaku untuk semua titik. Maka, dari tiga fungsi di atas, teorema apit akan menjamin bahwa

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 258

Gimana penerapan teorema apit ini di soal? Coba elo perhatikan contoh di bawah ini.

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 259

Meskipun elo udah pakai berbagai cara, pasti bakal sulit buat menemukan hasil dari soal di atas. Tapi, kalau elo pakai teorema apit, langkah-langkahnya jadi lebih sederhana.

Karena limit x menuju 0, maka x nggak boleh sama dengan 0. Jadi, pertidaksamaannya bakal menjadi

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 260

Nah, dari pertidaksamaan ini, coba elo kalikan semua ruas dengan x2. Dari hasil itu, elo bisa menerapkan bentuk teorema apit sebelumnya, yaitu

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 258

Berdasarkan tahap-tahap tersebut, maka didapatkan hasil

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 262

Nah, pengertian, manfaat, rumus, sifat-sifat, sampai teorema apit limit trigonometri udah elo ketahui. Sekarang, waktunya praktik langsung alias latihan soal. Yuk, simak contoh soalnya di bawah ini!

Baca Juga: Pengertian Teorema Bayes dan Contoh Soalnya – Materi Matematika Kelas 12

Contoh Soal Limit Trigonometri

Belajar Matematika rasanya nggak lengkap kalau belum latihan soal. Karena, semakin banyak soal yang bisa elo selesaikan, artinya semakin dalam pemahaman elo tentang materi itu.

Jadi, udah siapin kertas atau alat buat coret-coret? Cus langsung kerjakan, ya! Setelah itu, baru elo cocokkan sama penjelasan yang ada di bawahnya.

Soal 1

Lengkapi nilai dari limit trigonometri berikut, 

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 263

Pembahasan

Kalau elo perhatikan, soal ini menggunakan bentuk umum trigonometri, yaitu

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 264

Jadi, cara mengetahui nilai limit trigonometrinya adalah

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 265

Soal 2

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 266

Pembahasan

Untuk mengerjakan soal ini, elo perlu ingat-ingat lagi bagaimana prinsip dasar atau sifat-sifat dari limit trigonometri, di mana

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 267

Sehingga,

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 268

Soal 3

Nilai untuk melengkapi limit trigonometri di bawah ini adalah …

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 269

Pembahasan

Di soal ini, elo harus mengingat lagi yang namanya teorema apit. Di mana, sebuah fungsi diapit oleh dua fungsi lainnya sehingga mempunyai nilai limit yang sama. Jadi, cara penyelesaian soalnya adalah

Limit Trigonometri - Rumus, Sifat, dan Contoh Soal - Materi Matematika Kelas 12 270

*****

Nah, sampai di sini dulu pembahasan kita tentang limit trigonometri. Semoga dari artikel ini, elo bisa benar-benar lebih paham tentang apa itu limit trigonometri, rumus, sifat, sampai cara pengerjaannya.

Kalau elo mau belajar materi limit trigonometri ini lebih dalam, langsung aja tonton video-video materi yang ada di Zenius. Nggak cuma materi, elo juga bisa mengerjakan latihan-latihan soalnya. Caranya? Gampang! Langsung aja klik gambar di bawah ini! Selamat dan semangat belajar, Sobat Zenius!

materi matematika limit trigonometri

Referensi

Limit Trigonometri – Materi Zenius Kelas 12

Real Life Applications of Trigonometry – Mathnasium (2017)

Limits Involving Trigonometric Functions – Cliff Notes (n.d.)

Sandwich Theorem – Byju’s (n.d.)

Bagikan Artikel Ini!