Pertidaksamaan Trigonometri dan Cara Penyelesaiannya – Materi Matematika Kelas 11

pertidaksamaan trigonometri

Pertidaksamaan trigonometri sering muncul dalam soal-soal UTBK. Tapi, elo nggak perlu khawatir, karena di sini akan dibahas pengertian, contoh soal, dan cara penyelesaiannya. Cekidot!

Ngomong-ngomong tentang trigonometri, ilmu yang satu ini sering banget dianggap susah, lho. Elo sendiri menganggap materi ini susah atau mudah?

Nggak salah, kok. Trigonometri ini memang nggak digunakan secara langsung dalam memecahkan masalah praktis di kehidupan kita. Namun, ilmu ini digunakan dalam beberapa bidang. Misalnya, pada instrumen musik.

Kalau elo bertanya, “Apa hubungan antara musik dan trigonometri?” Maka, jawabannya terletak pada gelombang suara yang merambat. Pola gelombang yang berulang tersebut bisa ditentukan melalui fungsi sinus dan cosinus.

Selain itu, ada yang lebih menarik nih. Elo suka main game? Ternyata, dalam mengembangkan game ada kaitannya dengan trigonometri, lho!

Tenang aja, elo nggak harus sepintar Einstein dan Archimedes kalau mau bikin game, kok. Kolaborasi antara ilmu trigonometri dan logika udah cukup membuat elo punya basic membuat atau mengembangkan game.

Game dikembangkan menggunakan trigonometri.
Aplikasi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari. (Arsip Zenius)

Kita ambil contoh game Mario. Elo pernah main game Mario nggak? Nah, coba deh elo amati pergerakan si Mario. Misalnya saat dia mau melewati atau melompati blok rintangan. Dia nggak melompat lurus sepanjang sumbu Y, kan? Lompatannya sedikit melengkung atau berbentuk parabola menuju sumbu X.

Nah, trigonometri berperan dalam membantu Mario melewati blok rintangan! Intinya, konsep dari pengembangan game itu menggunakan perhitungan segitiga. Lho, apa hubungannya segitiga, trigonometri, dan game? Coba deh, elo pahami dulu salah satu konsep dari trigonometri, yaitu pertidaksamaan trigonometri berikut ini supaya makin paham dan bisa bikin video game sendiri.

Baca Juga: Materi Trigonometri, Rumus Sin Cos Tan & Pembahasannya

Apa Itu Pertidaksamaan Trigonometri?

Sebenarnya, apa sih yang dimaksud dengan pertidaksamaan trigonometri? Apakah trigonometri punya jenis yang berbeda-beda, sehingga ada yang disebut pertidaksamaan? Lalu, kenapa dipermasalahkan? Bukannya segala sesuatu itu nggak harus sama?

Eits, bentar-bentar, kayaknya semua itu kejauhan deh, dari definisi sebenarnya. Pertidaksamaan itu bukan berarti beda-beda.

Pertidaksamaan ini hampir mirip sama persamaan, bisa dibilang saudara kembar. Mereka itu sebuah pernyataan yang menyatakan hubungan antara dua ekspresi matematika.

Kalau persamaan kan dihubungkannya dengan tanda “=” (sama dengan), ya. Nah, kalau pertidaksamaan itu dihubungkannya bukan pake “=”, tapi pake tanda-tanda ini, nih:

Tanda pertidaksamaan trigonometri.
Tanda-tanda pertidaksamaan. (Arsip Zenius)

Oke, kita lanjut ke trigonometri. Sederhananya, trigonometri merupakan cabang ilmu matematika yang berkaitan dengan fungsi sudut dan penerapannya pada segitiga. Itulah mengapa video game menggunakan konsep trigonometri dalam pembuatannya.

Secara bahasa, trigonometri berasal dari bahasa Yunani, yaitu trigonon yang berarti segitiga dan metron yang berarti untuk mengukur.

Fungsi sudut yang digunakan dalam trigonometri adalah sin (sinus), cos (cosinus), tan (tangen), cot (cotangen), sec (secan), cosec (cosecan). Tapi, elo tenang aja, karena yang lebih sering dibahas di SMA adalah sin, cos, dan tan.

Dari penjelasan di atas, bisa kita tarik kesimpulan bahwa:

Pertidaksamaan trigonometri merupakan suatu bentuk pertidaksamaan yang mengandung fungsi-fungsi trigonometri: sin, cos, tan, sec, cosec, dan cot.

Nah, sebelumnya gue udah bilang, kalau tanda pertidaksamaan itu bukan sama dengan (=). Lalu, apa saja tanda dari pertidaksamaan? Nih, gue kasih contohnya:

1) sin 𝑥 > ½√2

2) 2 cos 𝑥 ≤ 1

3) tan 2𝑥 ≥ 1

Dari ketiga bentuk pertidaksamaan trigonometri di atas, bisa dilihat bahwa tiap pertidaksamaan mengandung fungsi-fungsi trigonometri. Selain itu, mereka juga dihubungkan dengan tanda-tanda pertidaksamaan (bukan sama dengan).

Lalu, bagaimana cara menjawab pertidaksamaan trigonometri?

Baca Juga: Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Cara Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

Nggak ada satu pun materi matematika yang nggak ada solusi penyelesaiannya, iya nggak? Semua pasti ada penyelesaiannya, termasuk pertidaksamaan trigonometri. Pertidaksamaan trigonometri bisa diselesaikan dengan dua cara, lho. Cara pertama yaitu grafik fungsi, dan cara kedua adalah garis bilangan.

Tanpa berlama-lama lagi, langsung aja deh, gue jelasin caranya di bawah ini.

Penyelesaian Pertidaksamaan Trigonometri dengan Grafik Fungsi

Cara yang pertama ini bisa dibilang memiliki konsep mudah untuk dimengerti, yaitu menggunakan grafik fungsi. Syaratnya, elo nggak males buat bikin grafik fungsinya. Nih, gue kasih ilustrasi bentuk-bentuk grafik fungsi trigonometri.

Grafik fungsi trigonometri sin cos tan.
Bentuk-bentuk grafik fungsi trigonometri. (Arsip Zenius)

Supaya nggak bingung, kita langsung bahas lewat soal saja, yuk! Nah, supaya makin gampang, kita pake grafik sin 𝑥. Let’s go!

Misalnya ada soal seperti ini.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan sin 𝑥 >  ½ untuk 0° ≤ 𝑥 ≤  360°!

Gimana cara menjawabnya? Pertama-tama, kita bikin dulu grafik fungsi y = sin 𝑥. Sekalian kita kasih garis putus-putus di angka 0,5 atau ½ di sumbu y, kurang lebih kayak gini:

Grafik fungsi y = sin x beserta garis putus-putus di 0,5.
Grafik fungsi y = sin x. (Arsip Zenius)

Terus gue mau tanya dulu deh, sin 𝑥 berapa yang hasilnya ½?

Nice banget, jawabannya itu di 30° atau 150°. Berarti, pada saat sudutnya di antara 30 sama 150 alias daerah yang diarsir, nilai sin 𝑥 itu lebih dari ½.

Maka dari itu, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {30° ≤ 𝑥 ≤  150°}. Gampang banget, kan? Lanjut ke cara berikutnya, yuk!

Penyelesaian Pertidaksamaan Trigonometri dengan Garis Bilangan

Kalau mau pake garis bilangan, ada beberapa langkah yang harus elo lewatin dulu. Ini dia langkah-langkahnya:

  1. Tentukan dulu besaran sudut-sudut pembuat nol (akar-akarnya).
  2. Setelah ketemu besar sudutnya, kita letakkan akar-akar tersebut pada garis bilangan dan tentukan tanda di antaranya. Tandanya bisa positif (+) atau negatif (-) tergantung apa yang diminta.
  3. Lalu, abis ditandain positif atau negatifnya, kita arsir deh, daerah yang diminta itu. Caranya, dibuat jadi lebih besar (>) atau lebih kecil (<) dari nol (0). Misal dimintanya lebih kecil (<), berarti kita cari daerah yang negatif (-). Kalau dimintanya lebih besar (>), berarti cari daerah yang positif (+).
  4. Terakhir, kita tentukan deh, himpunan penyelesaian atau HP-nya. Jadi, daerah yang udah diarsir tadi itu merupakan himpunan penyelesaiannya.

Misalnya ada soal seperti ini.

Tentukan himpunan penyelesaian sin 2𝑥 < cos x untuk 0° ≤ 𝑥 ≤  360°!

Jawab:

Sesuai langkah-langkah di atas, yang pertama kali harus kita lakukan adalah menentukan terlebih dahulu besaran sudut-sudutnya. Kita tulis ulang, ya.

Sin 2𝑥 < cos 𝑥

Abis itu, kita jadikan satu ruas dulu menjadi sin 2𝑥 – cos 𝑥 < 0. Nah, ini biasanya jadi patokan untuk menentukan daerah yang diarsirnya nanti.

Selanjutnya kita sederhanakan menjadi 2 sin 𝑥 cos 𝑥 – cos 𝑥 < 0. Kenapa bisa kayak gitu? Karena, kalau elo ingat, sin 2𝑥 itu sama dengan 2 sin 𝑥 cos 𝑥. Lanjut!

2 sin 𝑥 cos 𝑥 – cos 𝑥 < 0 kemudian disederhanakan lagi menjadi cos 𝑥 (2 sin 𝑥 – 1) < 0.

Nah, udah mulai ketemu nih, besaran sudut-sudut pembentuk 0-nya. Ada cos 𝑥 = 0 atau 2 sin 𝑥 = 1.

Karena 𝑥-nya udah ditentukan di soal dari angka 0 sampai 360, jadi kita mengacu sama itu.

Cos 𝑥 = 0, besar 𝑥-nya berarti cos berapa yang hasilnya 0? Yup, 90° dan 270°.

2 sin 𝑥 = 1 atau sin 𝑥 = ½, besar 𝑥-nya berarti sin berapa yang hasilnya ½? Betul banget, 30° dan 150°.

Nah, setelah kita punya sudut-sudut pembuat 0-nya, baru deh, kita buat garis bilangan dan letakkan di situ.

Garis bilangan untuk sudut 0, 30, 90, 150, 270, dan 360.
Membuat garis bilangan dan masukkan sudut-sudutnya. (Arsip Zenius)

Setelah itu, kita tentukan lagi sudut-sudut di antaranya.

Garis bilangan untuk sudut 0, 60, 120, 180, dan 360.
Tentukan lagi sudut-sudut di antaranya. (Arsip Zenius)

Kalau udah, sudut-sudut kuning itu kita coba substitusi ke sin 2𝑥 – cos 𝑥 < 0, tujuannya biar kita tau tandanya negatif apa positif.

Pertidaksamaan Trigonometri dan Cara Penyelesaiannya - Materi Matematika Kelas 11 9
Tentukan nilai negatif dan positif untuk menentukan himpunan penyelesaian. (Arsip Zenius)

Terakhir, yang diminta di situ kan lebih kecil daripada 0 ya, berarti kita ambil daerah yang negatif (-).

Selesai deh, himpunan penyelesaiannya kita udah dapet, yaitu HP = {0° ≤ 𝑥 < 30°, 90° < 𝑥 < 150°, 270° < 𝑥 ≤ 360°}

Baca Juga: Asal-Usul dan Pembuktian Konsep Trigonometri

Uraian di atas bisa elo pelajari menggunakan video belajar Zenius dengan klik banner di bawah ini.

belajar matematika zenius

Contoh Soal SBMPTN Pertidaksamaan Trigonometri

Gimana? Udah makin paham, kan? Kalau masih nggak ngerti, nih gue kasih 3 contoh soal lagi biar elo makin ngerti.

Contoh Soal 1

Perhatikan pernyataan di bawah ini.

(1) cos 𝑥 = -1

(2) sin 𝑥 ≤ ½√3

(3) sin 𝑥 = ½√2

(4) tan 𝑥 > -1

Manakah yang merupakan pertidaksamaan trigonometri?

A. (1), (2), dan (3).

B. (1) dan (3).

C. (2) dan (4).

D. (4) saja.

E. Semua benar.

Jawab: C. (2) dan (4).

Pembahasan: Seperti yang udah gue kasih tahu di atas, bahwa tanda dari pertidaksamaan itu yang mengandung simbol-simbol pertidaksamaan seperti <, >, ≤, dan ≥. Maka dari itu, jawaban yang benar adalah C. (2) dan (4)

Contoh Soal 2

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan sin x > 0 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° adalah ….

A. {60° ≤ 𝑥 ≤ 300°}

B. 0° ≤ 𝑥 < 90° atau 180° < 𝑥 ≤ 360°

C. {0° ≤ 𝑥 ≤ 180°}

D. {45° ≤ 𝑥 < 220°}

E. 45° + k.360° < 𝑥 < + k.360°, untuk (k) bilangan bulat

Jawab: C. {0° ≤ 𝑥 ≤ 180°}.

Pembahasan: Kita gambar terlebih dahulu grafik fungsinya:

Grafik fungsi pertidaksamaan trigonometri sin x > 0 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.
Grafik fungsi sin x > 0 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°. (Arsip Zenius)

Kalau grafiknya berada di atas sumbu 𝑥, berarti sin 𝑥 lebih besar dari 0. Tapi, kalau grafiknya di bawah sumbu 𝑥, maka sin 𝑥 lebih kecil dari 0.

Berhubung sin 𝑥 lebih besar dari 0, jadi kita ambil daerah di atas sumbu 𝑥 antara sudut 0° dan 180°, seperti yang sudah diarsir di gambar.

Maka dari itu, himpunan penyelesaian yang kita dapat adalah C. {0° ≤ 𝑥 ≤ 180°}.

Contoh Soal 3

Himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan cos 𝑥 sin 𝑥 > 0 untuk 0° < 𝑥 < 270° adalah ….

A. 0° < 𝑥 < 90°

B. 180° < 𝑥 < 270°

C. 90° < 𝑥 < 190°

D. 0° < 𝑥 < 90° atau 180° < 𝑥 < 270°

E. 90° < 𝑥 < 170° atau 180° < 𝑥 < 270°

Kali ini, gue nggak akan ngasih pembahasannya. Supaya elo makin jago, coba deh, soal ketiga itu elo kerjain sendiri! Gue yakin, elo bisa ngerjainnya. Terus, kalau udah selesai, spill hasilnya di kolom komentar ya!

*****

Akhirnya kelar juga materi kita kali ini. Gimana, sampai sini udah paham kan tentang pertidaksamaan trigonometri zenius? Jangan lupa untuk terus pelajari materinya, biar materinya nancep di otak! Buat yang lebih menyukai belajar dengan nonton video, elo bisa mengakses materi UTBK lainnya di video Zenius. Elo juga bisa mencoba melatih kemampuan dengan level soal yang mirip UTBK beneran di Try Out bareng Zenius.

Baca Juga: Rumus-Rumus Trigonometri

Ditulis oleh: Rizky Ramadhan dari Universitas Sultan Ageng Tirtayasa, bagian dari Kampus Merdeka 2022.

Diperbarui oleh: Maulia Indriana Ghani.

Editor: Dionysia Mayang Rintani

Referensi:

Trigonometry — Britannica.

Trigonometry for Game Programming: Part ½ — Raywenderlich (2013).

Bagikan Artikel Ini!