Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran dan Contoh Soal – Materi Matematika Kelas 11

Hai, guys! Di materi sebelumnya elo sudah mempelajari tentang persamaan lingkaran. So, sekarang gue akan coba jelasin ke elo tentang persamaan garis singgung lingkaran. Mulai dari rumus yang bisa elo gunakan hingga definisi persamaan garis singgung lingkaran. Oke deh, nggak usah berlama-lama, yuk langsung saja kita mulai pembahasannya!

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Apa sih garis singgung lingkaran? Garis singgung lingkaran merupakan garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik. Maksudnya gimana, tuh? Nah, coba deh elo lihat ilustrasi di bawah ini!

Bagaimana? Setelah melihat gambar sepeda di atas, pasti elo udah mulai paham kan apa itu garis singgung? Yap, di gambar tersebut terlihat kalau roda sepeda bersentuhan dengan jalanan. Nah, titik sentuhan antara sepeda dengan jalanan inilah yang dinamakan garis singgung, guys! 

Persamaan garis singgung lingkaran sendiri dibagi menjadi tiga jenis, yaitu:

• Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran.
• Persamaan garis singgung lingkaran dari gradien.
• Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran.

Yuk, kita bahas satu persatu-satu!

1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik pada Lingkaran

Apabila menemukan soal persamaan garis singgung lingkaran melalui titik, maka elo bisa menggunakan rumus seperti di bawah ini:

Sekarang, coba kita kerjain contoh soal ini, yuk! Gradien garis yang menyinggung lingkaran (x-1)² + (y+1)² = 25 di titik A (4,2) adalah ….

Maka, elo bisa menjawabnya dengan cara sebagai berikut:

( x-1) (x₁– 1 ) + ( y+1 ) (y₁+1) = 25

( x-1) (4- 1 ) + ( y+1 ) (2+1) = 25

3x + 3y = 25

Jadi, gradien garis yang menyinggung lingkaran (x-1)² + (y+1)² = 25 di titik A (4,2) adalah -1.

Baca Juga: Turunan Kedua dan Contoh Soalnya – Materi Matematika Kelas 11

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dari Gradien

Oke, tadi kan kita sudah membahas persamaan garis singgung lingkaran melalui titik. Lalu, bagaimana jika elo menemukan soal yang gradiennya diketahui? 

Nah, jika diketahui gradiennya maka elo bisa menggunakan persamaan garis singgung dari gradien. Untuk menghitungnya, elo bisa menggunakan rumus seperti di bawah ini.

3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar Lingkaran

Untuk menghitung persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran, elo bisa menggunakan persamaan garis polar. Garis polar adalah garis yang menghubungkan dua titik singgung pada lingkaran. 

Dengan mengetahui persamaan garis polar, maka kita bisa tahu titik singgung pada lingkaran. Caranya bagaimana? Caranya yaitu garis polar disubstitusi ke persamaan lingkaran. 

Berikut adalah rumus garis polar:

• Pusat (0,0)

x₁x + y₁y = r²

• Pusat (a,b)

(x₁– a ) ( x-a) + (y₁– b) ( y-b ) = r²

• Bentuk Umum

Baca Juga: Penjumlahan dan Pembagian Polinomial – Materi Matematika Kelas 11

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Well, tadi kan kita sudah membahas umus yang bisa elo gunakan untuk menghitung persamaan garis singgung lingkaran. So, biar makin paham, yuk kita masuk ke contoh soal persamaan garis singgung lingkaran di bawah ini!

1. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x² + y² = 5 di titik A (2,1) adalah ….

A. 2x + y = 25

B. 2x + y = 5

C. x +2y = 25

D. x + 3y = 5

E. 2x – y = 3

Jawaban: 

Diketahui: x₁ = 2 dan y₁ = 5 

Persamaan garis singgung lingkaran xx₁ + yy₁ = r²

xx₁ + yy₁ = 5

2x + y = 5 

Maka, jawaban yang tepat adalah B. 2x + y = 5 

2. Salah satu persamaan garis singgung yang bergradien 2 dan menyinggung x² + y² = 5 adalah ….

A. y = 2x + 7

B. y = 2x + 5

C. y = 2x + 3

D. y = 2x + 1

E. y = 2x – 1

Jawaban: 

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = 2x + 5 dan y = 2x – 5. Sehingga jawaban yang tepat adalah B. y = 2x + 5

3. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 4 dari titik (2,2) adalah ….

A. x=2 dan y=2

B. x=-2 dan y=-2

C. x=2 dan y=0

D. x=0 dan y=2

E. x=-2 dan y=0

Jawaban: 

Karena titik (2,2) berada di luar lingkaran x² + y² = 4 maka akan terbentuk garis polar.

• Persamaan garis polar:

x₁x + y₁y = r² 

2x + 2y = 4

x + y = 2 

y = 2 – x

Diperoleh persamaan garis polarnya adalah y= 2 – x.

• Substitusikan garis polar y = 2 – x ke dalam persamaan lingkaran untuk mencari titik pada lingkaran yang dilewati oleh garis singgung (titik singgung lingkaran).

 x² + y² = 4

 x² + (2-x)² = 4

 x² + 4 – 4x – x² – 4 = 0

2 x² – 4x = 0

x(x – 2) = 0

x=0 atau x=2

Selanjutnya substitusi x=0 dan x=2 ke persamaan garis polar:

Untuk x=0 maka y = 2 – x = 2 – 0 = 2

Untuk x=2 maka y = 2 − x = 2 − 2 = 0

Diperoleh titik singgung lingkaran adalah (0,2) dan (2,0).

• Substitusi kedua titik singgung lingkaran ke persamaan x₁x + y₁y = 4 untuk memperoleh persamaan garis singgung:

Untuk titik (0,2)

x₁x + y₁y = 4

0(x) + 2y = 4

2y = 4

y = 2

Untuk titik (0,2)

x₁x + y₁y = 4

2x + (0)y = 4

2x = 4

x = 2

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah x=2 dan y=2. Maka jawaban yang tepat adalah A. x=2 dan y=2.

Baca Juga: Integral Parsial dan Integral Substitusi – Materi Matematika Kelas 11

Finally, selesai juga nih pembahasan tentang persamaan garis singgung lingkaran. Nah, bagi elo yang masih mau tahu lebih banyak tentang materi ini, elo bisa kunjungi aplikasi Zenius atau bisa klik banner di bawah ini, ya!

Guys, di aplikasi Zenius ada banyak materi yang bisa elo pelajarin! Selain itu, ada Zenius punya beberapa paket belajar yang sesuai sama kebutuhan elo. Belajar bareng Zenius nggak sekedar menghafal, tetapi juga belajar konsepnya sampai paham. Yuk, segera berlangganan Zenius dengan klik banner di bawah ini!