Bilangan Asli – Pengertian, Sifat, Himpunan, dan Contoh Soal

Dua orang yang sedang belajar Zenius Education

Pengertian bilangan asli, sifat-sifatnya, himpunan bilangan asli, dan contoh soal beserta pembahasannya ada dalam artikel ini. Yuk, cari tahu!

Tanpa kita sadari, himpunan bilangan asli sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari kita, lho.

Jarak antara dua orang Zenius Education
Ilustrasi jarak (Arsip Zenius)

Misalnya aja nih, menghitung cuan. Atau, menghitung jarak rumah elo dengan rumah si doi biar bisa mengira-ngira lama perjalanan dan nggak bikin dia nunggu kelamaan gitu. Hehe, bercanda, ya! Tapi emang berhitung tuh, penting banget. 

Itu kenapa, kali ini gue ingin mengajak elo buat kenalan dengan salah satu jenis bilangan yang berkaitan erat dengan hitung-menghitung dalam kehidupan sehari-hari. Pasti elo sudah bisa nebak bukan apa nama bilangannya? Yak, betul! Namanya adalah bilangan asli.

Asal Bilangan Asli dari 60.000 tahun yang lalu Zenius Education
Ilustrasi asal bilangan asli (Arsip Zenius)

Nah, kali ini selain kenalan dengan pengertian dan sifat-sifat dari jenis bilangan yang kemungkinan sudah ada semenjak 60.000 tahun yang lalu ini, kita juga bakal membahas beberapa contoh-contoh soalnya yang sering keluar saat UTBK.

Kalau gitu, yuk lanjutin bacanya supaya nggak ketinggalan informasinya!

Apa Itu Bilangan Asli? 

Ternyata menurut Encyclopedia.com (2018), bilangan asli itu sudah ada sejak lama bahkan sebelum ada tulisan lho, Sobat Zenius. Tepatnya, pada zaman prasejarah. 

Walaupun dulu belum ada tulisan, manusia sudah bisa berhitung menggunakan bahasa-bahasa isyarat, seperti gerakan menunjuk jari, siku, pundak, mulut hingga hidung yang digunakan oleh orang-orang Papua Nugini untuk menghitung dari angka 1 sampai dengan 22.

Bahasa isyarat menggunakan olah tubuh
Ilustrasi bagian tubuh bahasa isyarat (Dok. Kay Owens via The Work of Glendin Lean on the Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania, 2001, doi:10.1007/bf03217098)

Bahkan, kata bilangan asli dalam Bahasa Inggris, yaitu natural numbers, itu muncul karena berhitung dimulai dari pengalaman alami seseorang dengan anggota badan mereka sendiri ataupun benda-benda di sekitarnya.

Selain itu, sudah ada penemuan-penemuan yang berasal dari zaman prasejarah yang memberikan petunjuk dimulainya budaya berhitung yang dilakukan oleh manusia. Contohnya, sebuah media digital, Nature (2021) mengabarkan kalau Francesco d’Errico, seorang arkeolog dari Prancis menemukan bukti bahwa manusia sudah mulai berhitung semenjak 60.000 tahun yang lalu, Sobat Zenius. Sudah lama sekali, bukan?

Tulang yang diukir yang menunjukan bukti mulainya kegiatan berhitung di zaman prasejarah
Ilustrasi bukti berhitung pada zaman prasejarah oleh F. d’Errico (Arsip Zenius)

Mulainya manusia berhitung pun beriringan dengan kebutuhan manusia untuk menghitung harta yang mereka miliki. Dari situ kebutuhan akan angka pun berkembang. Akhirnya terciptalah angka dan bilangan asli yang dipelajari secara serius oleh tokoh-tokoh seperti Pythagoras dan Archimedes. 

Lalu, apa sih bilangan asli itu sebenarnya?

Seperti sejarah asalnya, menurut Britannica Encyclopedia (2021), bilangan asli adalah bilangan yang diperoleh dari kegiatan menghitung untuk mengetahui jumlah satu benda dalam sebuah kelompok, Sobat Zenius. 

Misalnya nih, kalau elo ingin menghitung jumlah rumah yang ada di dalam sebuah perumahan, maka jenis bilangan aslilah yang elo gunakan. 

Oh iya, umumnya bilangan asli dimulai dari angka 1. Oleh karena itu, bilangan asli juga sering disebut dengan bilangan bulat positif, yang artinya bilangan positif yang dimulai setelah angka 0.

garis bilangan daerah bilangan asli setelah 0
Ilustrasi bilangan asli pada garis bilangan (Arsip Zenius)

Kenapa sih, bilangan asli nggak dimulai dari angka 0? 

Mudahnya elo bisa saja langsung mensimulasikan perhitungan rumah yang ada pada gambar di bawah ini nih.

Rumah-rumah yang jumlahnya ada 6
Ilustrasi rumah-rumah (Arsip Zenius)

Berapa jumlah rumah yang elo lihat di gambar itu?

Loading ... Loading ...

Pasti elo menjawabnya 6 bukan? Yak, betul. 

Nah, elo bisa mendapatkan jumlah 6 itu karena elo memulai menghitung dari angka 1, Sobat Zenius. Kalau mulai dari 0 pasti hasilnya 5. Alhasil salah deh, jawabannya. Itu kenapa bilangan asli dimulai dari 1.

Jadi, contoh bilangan positif adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ,10, … sampai tak terhingga. Jadi, simbol bilangan asli adalah angka positif seperti contoh tersebut. Bukan angka negatif maupun pecahan.

Materi Bilangan Asli Matematika UTBK

Himpunan Bilangan Positif  

Himpunan merupakan kumpulan dari objek yang memiliki kesamaan sebagai satu kesatuan. Semisal himpunan hewan berkaki empat, maka himpunan tersebut berupa kumpulan semua hewan yang memiliki empat kaki.

Begitu pula jika himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut terdiri dari bilangan-bilangan asli yang ada.

Nah, himpunan asli biasanya disimbolkan dengan N. Dengan begitu, untuk menunjukkan anggota himpunan asli, maka elo bisa menuliskan N = {1, 2, 3, 4, 5, …}.

himpunan bilangan asli mulai dari 1
Ilustrasi himpunan bilangan asli (Arsip Zenius)

Berikut contoh lain himpunan bilangan asli.

  1. Himpunan bilangan asli kurang dari 10
    N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
  2. Himpunan bilangan asli kurang dari 20
    N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}

Mudah, bukan?

Nah, gimana kalau elo diminta menyebutkan jumlah bilangan asli kurang dari 15 yang habis dibagi dengan 2?

Jawabannya adalah

Loading ... Loading ...

Untuk menentukan jumlahnya, elo bisa menuliskan terlebih dahulu himpunan bilangan asli kurang dari 15, yaitu  N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Nah dari situ tinggal mencari saja bilangan-bilangan yang habis dibagi 2. Berarti ada 2, 4, 6, 8, 10, 12, dan 14. Maka jumlah bilangan asli kurang dari 15 yang habis dibagi dengan 2 adalah 7.

Baca Juga: 3 Cara Menyatakan Himpunan Matematika – Jenis, Operasi, dan Contoh Soal 

Sifat Bilangan Asli 

Bilangan asli juga memiliki sifat-sifat yang membedakan bilangan ini dari bilangan lain nih, Sobat Zenius. Menurut Yoseph Dwi Kristanto, seorang dosen pendidikan matematika, secara umum sifat-sifatnya itu adalah komutatif, asosiatif, dan distributif.

Apa artinya? Yuk, kita bahas satu persatu secara singkat

  1. Sifat Komutatif
    Sifat ini berlaku pada operasi hitung penjumlahan dan perkalian. Bisa dalam perkalian bilangan asli dengan bilangan asli atau perkalian pecahan campuran dengan bilangan asli. Dalam perkalian, biasanya akan dirumuskan sebagai a + b = b + a, dan dalam perkalian ab = ba.

    Artinya, dalam penjumlahan dan perkalian, kita boleh banget nih, untuk membalik urutan angka bilangan aslinya.


    sifat komutatif bilangan asli
    Ilustrasi contoh sifat komutatif (Arsip Zenius)

    Nah, dalam operasi hitung di atas, baik 2 + 5 maupun 5 + 2 memiliki hasil yang sama, meskipun urutannya berbeda. Begitu juga dengan yang perkalian. 

    Kenapa sifat ini tidak berlaku dalam operasi hitung pembagian? Karena, 2 : 5 dan 5 : 2 akan menghasilkan hasil yang berbeda, Sobat Zenius.

  2. Sifat Transitif
    Sifat yang kedua adalah transitif. Dalam penjumlahan, kita bisa merumuskan sifat ini sebagai (a + b) + c = a + (b + c), dan dalam perkalian (ab)c = a(bc).


    Sifat  transitif bilangan asli
    Ilustrasi contoh sifat transitif (Arsip Zenius

    Mirip-mirip nih, dengan sifat pertama. Pada operasi bilangan menggunakan tanda kurung, yang mengharuskan bagian tertentu dihitung terlebih dahulu dalam sebuah operasi hitungan, hasilnya pun akan tetap sama walaupun urutannya diubah-ubah.

  3. Sifat Distributif
    Sifat umumnya yang ketiga adalah sifat distributif. Rumusnya adalah a(b + c) = ab + ac dan (b + c)a = ba + ca.


    Sifat  distributif bilangan asli
    Ilustrasi contoh sifat distributif (Arsip Zenius)

Selain sifat di atas, ada juga sifat bilangan asli tertutup seperti yang ada pada Prolog Materi Bilangan Asli Zenius. Sifat tertutup juga hanya berlaku pada penjumlahan dan perkalian saja. Sedangkan yang dimaksud dengan tertutup adalah kalau dalam penjumlahan maupun perkalian itu melibatkan dua atau lebih bilangan asli, maka hasilnya pun akan berupa bilangan asli.

Sifat tertutup bilangan asli
Ilustrasi contoh sifat tertutup (Arsip Zenius)

Baca Juga: Bilangan Prima – Sejarah, Pengertian, dan 3 Contoh Soalnya

Contoh Soal Bilangan Asli 

Setelah mengenal tentang apa itu bilangan asli dan sifat-sifat bilangan asli, pasti penasaran dong dengan contoh-contoh soalnya yang biasanya muncul dalam UTBK. Kalau gitu, langsung saja yuk kita lihat contoh soal di bawah ini. 

Oh iya, coba kerjakan soalnya terlebih dahulu sebelum melihat pembahasannya, ya.

  1. A dan B adalah dua buah bilangan asli yang memenuhi A = √B. Jika A + B < 21, maka nilai terbesar dari A + B adalah ….
    A.
    20
    B. 12
    C. 
    6
    D. 2
    E.
    19

    Nah, kira-kira yang mana nih jawaban yang benar?

    Jawab: 

    Pertama-tama, karena A dan B sama-sama merupakan bilangan asli, maka kemungkinannya mereka adalah angka 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya.

    Sekarang kita ke persamaan A = √B. Dari persamaan ini kita tahu kalau nilai A itu sama dengan nilai √B. Nah, supaya nggak sulit nih kita bisa kuadratkan kedua nya supaya tidak ada yang berupa akar lagi. Jadi, persamaannya menjadi A^2 = B.

    Selanjutnya kita bisa nih, mencari nilai A-nya.
    Misalnya, kalau B = 1, maka A = 1 . Jadi, A = 1. Nah, bisa dilanjutkan deh melakukan hal yang sama dengan mengganti angka bilangan aslinya seperti di bawah ini.

    B = 4, Maka A =  4 = 2

    B = 9, Maka A =  9 = 3

    B = 16, Maka A =  16 = 4

    B = 25, Maka A =  25 = 5

    Nah, kalau sudah mencoba beberapa, elo bisa coba masukkan dulu nih, hasil nilai A dan B yang elo dapat ke rumus A + B < 21 yang ada pada soal, siapa tahu sudah menemukan hasil penjumlahan A dan B terbesar yang kurang dari 21.

    Oke, sampai di sini hasil penjumlahannya sudah ada yang melebihi 21. Maka kita bisa memilih jumlah yang paling mendekati 21 adalah 20.

    Jadi, jawabannya adalah A. 20.

  2. Jumlah bilangan-bilangan asli dari 1 sampai 300 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah ….
    A. 9810
    B. 
    9900
    C. 10200
    D. 
    11100
    E. 12000

    Jawab:

    Pertama, kita bisa coba untuk melihat pola dulu nih dari bilangan yang habis dibagi 3 terlebih dahulu.

    Dari bilangan 1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6, 7, 8, 9, 10, … , 300.
    Nah, karena 3, 6, dan 9 merupakan bilangan yang habis dibagi 3, maka kita bisa dapat polanya, nih. Kalau setiap 3 bilangan sekali akan ada bilangan yang habis dibagi 3. Jadi, seandainya ada 300 bilangan, 300 : 3, maka ada 100 bilangan yang habis dibagi 3.

    Kita bisa menuliskannya dengan Un1 = 3n. (3 merupakan angka pertama dalam urutan bilangan yang habis dibagi 3).

    Untuk bilangan yang habis dibagi tiga dan lima isinya jadi 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 , 30, …., 300. Lalu, sekarang kita bisa cari nih, bilangan-bilangan yang habis dibagi 5. Jawabannya adalah 15 dan 30, yang mana muncul setiap 5 kali sekali. Jadi, seandainya ada 300 bilangan, 300 : 5, maka ada 20 bilangan yang habis dibagi 3.

    Kita bisa rumuskan dengan Un2 = 15n (15 merupakan angka pertama dalam urutan bilangan yang habis dibagi 5).

    Nah, kalau mau mencari jumlah bilangan yang habis dibagi 3 dan 5 sekaligus, kita tinggal masukkan ke rumus di bawah ini.

    Untuk Un1 = 3n, kita bisa pakai Sn1 = jumlah bilangan yang habis dibagi 3/2 (n paling ujung kiri + n paling ujung kanan)

    Maka, Sn1 = 100/2 (3 + 300) = 15.150.

    Untuk Un2 = 15n, elo bisa pakai Sn1 =  jumlah bilangan yang habis dibagi 5/2 (n paling ujung kiri + n paling ujung kanan)

    Maka, Sn2 = 20/2 (15 + 300) = 3.150.

    Nah, karena sudah ketemu nih jumlah bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 5, kita tinggal mengurangkan aja tuh hasilnya. 

    15.150 – 3.150 = 12.000

    Jadi, jumlah bilangan asli yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah E. 12.000.

  3. Bilangan asli n bersisa 2 jika dibagi 7 dan bersisa 3 jika dibagi 4. Nilai yang mungkin untuk n adalah ….
    (1) 23.
    (2) 
    51.
    (3) 
    79.
    (4) 
    87.

    A. 
    (1), (2), (3) saja yang benar
    B. 
    (1) dan (3) saja yang benar 
    C.
    (2) dan (4) saja yang benar
    D. 
    Hanya (4) yang benar
    E. 
    Semua pilihan benar

    Jawab:

    Untuk menjawab soal ini, kita harus mencoba kemungkinan nilai n yang ada yang kalau dibagi 7 sisanya 2 dan dibagi 4 sisanya 3.

    (1) 23.
    (2) 
    51.
    (3) 
    79.
    (4) 
    87.

    (1) Hasil perkalian 7 yang mendekati 23 adalah 7 x 3 = 21. Maka sisanya 23 – 21 = 2. Hasil perkalian 4 yang mendekati 23 adalah 4 x 5 = 20. Maka sisanya 23 – 20 = 3.
    Maka, nilai n = 23 benar.
    (2) Hasil perkalian 7 yang mendekati 51 adalah 7 x 7 = 49. Maka sisanya 51 – 49 = 2. Hasil perkalian 4 yang mendekati 51 adalah 4 x 12 = 48. Maka sisanya 51 – 48 = 3.
    Maka, nilai n = 51 benar.
    (3) Hasil perkalian 7 yang mendekati 79 adalah 7 x 11 = 77. Maka sisanya 79 – 77 = 2. Hasil perkalian 4 yang mendekati 79 adalah 4 x 19 = 76. Maka sisanya 79 – 76 = 3.
    Maka, nilai n = 79 benar.
    (4) Hasil perkalian 7 yang mendekati 87 adalah 7 x 12 = 87. Maka sisanya 87 – 87 = 3. Hasil perkalian 4 yang mendekati 87 adalah 4 x 21 = 84. Maka sisanya 87 – 84 = 3.
    Maka, nilai n = 87 salah.

    Nah, dari perhitungan tersebut kita bisa menyimpulkan bahwa jawaban yang benar adalah A. (1), (2), (3) saja yang benar.

Baca Juga: 9 Jenis dan Rumus Pola Bilangan Beserta Contoh Soalnya

Penutup 

Wah, nggak kerasa sudah selesai juga nih pembahasan kita tentang bilangan asli. Semoga apa yang gue bagikan di artikel kali ini dapat berguna ya buat elo dalam memperluas wawasan sekaligus mempersiapkan UTBK.

Untuk mencari tambahan latihan soal, elo bisa coba mengerjakan soal-soal try out UTBK dari Zenius ya.

Elo juga nggak perlu khawatir jika mengalami kesulitan ketika mengerjakan latihan soal tentang bilangan asli. Elo bisa banget pakai fitur Zenbot dari Zenius untuk mencari pembahasannya. Tinggal cekrek! Langsung dapat deh, jawabannya.

Referensi

Aithmetic – Encyclopedia Britannica (2021)

Bilangan Real: Sifat-Sifat Bilangan Real – Yosep Dwi Kristanto (2020)

How Did Ancient Humans Learn To Count? – Nature (2021)

How Did Neanderthals And Other Ancient Humans Learn To Count? – Nature. (n.d.) 2021

Modul Belajar Mandiri Calon Guru Aparatur Sipil Negara (Asn) Pegawai Pemerintah Dengan Perjanjian Kerja (PPPK) Bidang Studi Matematika – Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Pendidikan Dasar, Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidika (2021)

Natural Numbers – Encyclopedia.com (2018)

When Did Humans First Learn To Count? – The Conversation (2018)

Bagikan Artikel Ini!