rumus kombinasi dan rumus permutasi

Rumus Kombinasi dan Permutasi, Apa Sih Perbedaannya?

Artikel ini akan membahas tentang rumus kombinasi, rumus permutasi, dan perbedaan dari keduanya. Simak selengkapnya di sini yuk!

rumus kombinasi
Aplikasi rumus kombinasi dalam permainan sudoku (foto oleh Marijakes dari Pixabay)

Coba kamu bandingkan kedua percakapan di bawah ini.

Andi : “Gue minta tolong dong, cariin 3 orang buat masuk tim vokal gue!”

Dian : “Mau yang kayak gimana?”

Andi : “Bebas, yang penting suaranya oke.”

…dan,

Boy : “Lu, bagi nomor hp lo dong, gue mau ngirim tugas nih!”

Lulu : “Nih catet ya, 0897654321. Jangan salah ketik, nanti lo salah kirim deh.”

Boy : “Iya, tenang aja, makasih ya.”

Dari percakapan di atas, ada perbedaan yang mencolok di antara keduanya. Perbedaan tersebut terletak pada penggalan kalimat ini:

  • Cariin 3 orang buat masuk tim vokal gue”. Kita gak peduli tentang siapa aja atau urutan orangnya kayak gimana, yang penting ada 3 orang dan suaranya bagus.
  • “Nih catet ya, 0897654321. Jangan salah ketik, nanti lo salah kirim deh”. Sekarang kita harus perhatikan urutannya. Kalau urutannya salah, maka nomor tersebut gak akan berfungsi atau bisa salah sambung, yang pasti itu bukan nomor Lulu. Jadi, harus sesuai urutan 0897654321.

Jelas ya perbedaannya, kalau poin pertama itu gak peduli sama urutannya. Sedangkan, poin kedua sangat memperhatikan urutannya. Nah, keduanya bisa disebut dengan kombinasi dan permutasi. Manakah yang termasuk kombinasi dan mana yang permutasi? Cari tau perbedaannya di bawah ini.

Perbedaan Kombinasi dan Permutasi

Dalam konsep peluang, dikenal juga istilah kombinasi dan permutasi. Keduanya digunakan untuk mencari peluang atau probabilitas dari suatu kejadian. Perbedaan yang mencolok dari keduanya, yaitu:

  • Kombinasi (C) : cara menyusun objek tanpa memperhatikan urutan.
  • Permutasi (P) : cara menyusun objek dengan memperhatikan urutan.

Contoh:

  • Kombinasi

Suatu kelompok memiliki 3 orang anggota, yaitu A, B, dan C. Seorang guru harus memilih 2 orang anggota untuk mengikuti lomba vokal. Tentukan ada berapa kombinasi yang digunakan untuk mengambil dua orang dari tiga anggota yang tersedia!

Karena pada kombinasi gak memperhatikan urutan, jadi cara yang bisa diambil dari kejadian di atas adalah A-B, A-C, dan B-C. Dengan begitu, ada 3 kombinasi cara untuk mengambil dua orang dari tiga anggota untuk menjadi peserta lomba vokal.

  • Permutasi

Di dalam kotak, terdapat 3 buah bola yang masing-masing berwarna merah, kuning, dan hijau. Andi diminta untuk mengambil dua buah bola secara acak dan urutan pengambilannya harus diperhatikan. Tentukan ada berapa permutasi yang digunakan untuk mengambil dua buah bola dari dalam kotak tersebut!

Karena pada permutasi harus memperhatikan urutan, maka cara yang bisa diambil dari kejadian di atas adalah M-K, K-M, K-H, H-K, M-H, dan H-M. Jadi, ada 6 permutasi yang bisa digunakan untuk mengambil dua bola secara acak dan berurutan.

Perbedaan antara permutasi dan kombinasi juga bisa kamu lihat pada tabel berikut ini:

KombinasiPermutasi
Urutan gak diperhatikanUrutan harus diperhatikan
Memilih tim/kelompok, baju, mata pelajaran, daftar makananMenyusun orang, nomor telepon, angka, warna
Mengambil beberapa anggota dari grupMengambil ketua tim, menyusun jobdesk tiap orang
Mengambil dua warna dari kotak secara acakMengambil dua warna favorit dan berurutan
Mengambil tiga orang pemenangMengambil pemenang secara berurutan (juara 1, 2, dan 3)

Udah jelas kan perbedaannya, oke sekarang kita lanjut ke pembahasan rumus-rumusnya.

Rumus Permutasi

Udah tau perbedaan dari kombinasi dan permutasi kan? Nah, sekarang aku bakal kasih tau rumus permutasi terlebih dahulu. Kenapa? Karena, permutasi punya beberapa rumus berdasarkan jenisnya. Langsuk kita cek yuk!

Permutasi Unsur Berbeda (nPr)

Permutasi unsur berbeda ini maksudnya gimana ya? Kamu udah lihat contoh kasus permutasi pada poin sebelumnya kan? Yap, tentang bola di dalam kotak yang berwarna merah, kuning, hijau dan harus diambil 2 dari kotak secara acak dan berurutan. Sekarang kita pakai rumus nih ngerjainnya. Perhatikan gambar berikut ini:

rumus permutasi unsur berbeda

Menggunakan perhitungan manual dengan mencocokkan warna hasilnya sama dengan rumus permutasi di atas, yaitu 6 percobaan. Kenapa namanya permutasi unsur yang berbeda? Karena, dari total kejadian/objek yang bisa kamu pilih, kamu hanya disuruh mengambil sebagiannya, dan semua warna yang dipakai itu beda semua. Kalau lihat contoh tadi ya berarti dari 3 bola, kamu diminta untuk mengambil 2. Berarti ada 6 cara atau percobaan yang bisa kamu gunakan untuk mengambil bola tersebut, bisa warna merah-kuning, hijau-merah, dll.

Jadi, untuk menghitung permutasi unsur yang berbeda, kamu bisa menggunakan rumus:

Rumus Kombinasi dan Permutasi, Apa Sih Perbedaannya? 33

Keterangan:

P = permutasi

n = jumlah kejadian yang bisa dipilih

r = jumlah kejadian yang harus dipilih

! = simbol faktorial

Supaya lebih jelas, aku kasih contoh lainnya nih:

Ada anak Andi (A), Budi (B), dan Cecep (C) yang akan menempati 3 buah kursi di ruangan kelas. Tentukan variasi tempat duduk yang bisa dilakukan ketiga anak tersebut menggunakan konsep permutasi!

Penyelesaian:

Andi, Budi, Cecep → ABC, BCA, CAB, ACB, BAC, CBA = 6 variasi tempat duduk.

Kalau menggunakan rumus, berarti: 

Rumus Kombinasi dan Permutasi, Apa Sih Perbedaannya? 33
Rumus Kombinasi dan Permutasi, Apa Sih Perbedaannya? 35
Udah makin jelas kan konsep tentang permutasi unsur yang berbeda? Intinya, permutasi unsur yang berbeda itu berarti semua unsurnya beda-beda.

Permutasi Unsur yang Sama

Selanjutnya, ada permutasi unsur yang sama. Gimana nih maksudnya? Apakah unsur-unsur penyusunnya ada yang sama? Nah, untuk jenis permutasi yang satu ini, kamu diharuskan untuk lebih teliti. Karena, kamu tetap harus memperhatikan urutan tapi gak boleh ada unsur yang serupa atau diulang. Kita langsung masuk ke contoh deh biar gak bingung.

Ada susunan huruf A, B, dan A’. Tentukan variasi permutasi dari susunan huruf tersebut!

Penyelesaian:

ABA’ → AA’B, ABA’, A’BA, A’AB, BAA’, BA’A = 6 variasi tempat duduk (jika menggunakan konsep permutasi unsur yang berbeda).

Karena, sekarang yang diminta adalah permutasi unsur yang sama, sehingga gak boleh ada unsur yang serupa, jadi kita cek lagi ya:

rumus permutasi unsur yang sama

Permutasi Siklis

Selanjutnya, ada permutasi siklis atau melingkar. Maksudnya gimana? Permutasi ini digunakan untuk menentukan banyaknya cara penyusunan dari unsur yang berbeda dalam kondisi melingkar. Contohnya, ketika ada perkumpulan yang duduknya melingkar, permainan melingkar (kucing dan tikus), posisi manik-manik pada gelang atau kalung, dll.

rumus permutasi siklis
dok. Giphy

Nah, gimana sih cara atau variasi penyusunan orang yang berada pada lingkaran tersebut? Kita bisa menggunakan rumus permutasi siklis. Kita ambil contoh kayak kasus-kasus sebelumnya, yaitu menggunakan tokoh A B C.

Sekumpulan anak-anak akan duduk di meja bundar. Tentukan berapa variasi tempat duduk yang mungkin berdasarkan konsep permutasi!

contoh soal dan pembahasan rumus permutasi siklis

Gampang banget kan, guys? Nah, rumus dari permutasi ini udah dibahas semua. Dari ketiga permutasi di atas, mana sih yang menurut kamu paling mudah diingat?

Rumus Kombinasi

Setelah membahas semua jenis permutasi, sekarang kita lanjut bahas rumus kombinasi yuk! Masih ingat kan bedanya kombinasi dengan permutasi? Yap, kombinasi gak memperhitungkan urutan, sedangkan permutasi memperhatikan urutan. Berbeda dari permutasi, kombinasi hanya punya satu jenis aja.

Contoh kombinasi:

Ada 4 orang anak, yaitu Andi (A), Budi (B), Cecep (C), dan Dani (D). Guru meminta perwakilan 3 orang secara bebas untuk ikut lomba vokal mewakili sekolah. Tentukan berapa variasi tim yang terbentuk!

Penyelesaian:

Kita akan membentuk tim yang terdiri dari 3 orang saja tanpa memperhatikan urutannya, sehingga akan terbentuk variasi sebagai berikut.

A B C D → ABC, ABD, ACD, BCD = 4 variasi

Kalau mau diaplikasikan ke dalam rumus kombinasi adalah sebagai berikut.

Rumus Kombinasi dan Permutasi, Apa Sih Perbedaannya? 36

Keterangan:

C = kombinasi

n = jumlah kejadian yang bisa dipilih

r = jumlah kejadian yang harus dipilih

! = simbol faktorial

Sejarah Permutasi dan Kombinasi

Eh tapi tau gak sih kapan tepatnya teori permutasi dan kombinasi ini muncul? Naah, penasaran kan? Kita bahas secara singkatnya juga yuk!

Permutasi pada awalnya digunakan di China pada I Ching (Pinyin Yi Jing) sejak 1000 SM. Selanjutnya, Al Khalil (717-786) yang merupakan seorang matematikawan dan kriptografer asal Arab menulis Kitab Pesan Kriptografi yang berisi penggunaan permutasi dan kombinasi. Selain itu, aturan permutasi juga udah ada dalam budaya India sejak tahun 1150-an oleh matematikawan India bernama Bhaskara II. Di tahun 1677, Fabian Stedman muncul dengan penjelasannya mengenai faktorial saat menjelaskan jumlah permutasi lonceng dalam perubahan dering. Kemudian, ilmuwan asal Italia yang kemudian dinaturalisasi Perancis, Joseph Louis Lagrange pada tahun 1770 menemukan permasalahan yang membutuhkan bantuan permutasi. Hingga akhirnya, Variste Galois yang merupakan matematikawan asal Perancis dalam teori Galois memberikan deskripsi lengkap terkait apa yang mungkin dan gak mungkin dari persamaan polinomial. Hingga kini, dalam matematika modern, ada beberapa masalah yang memang harus diselesaikan dengan bantuan permutasi.

Sedangkan, untuk sejarah teori kombinasi ini diduga udah ada sejak 2800 SM. Sastra China memperkenalkan suatu kotak yang berisi susunan angka sedemikian rupa dengan baris, kolom, dan diagonalnya sama semua. Kombinasi dipakai untuk mempelajari kotak dan pola yang ada di dalamnya. Nah, di abad ke-12, ada matematikawan asal India yang bernama Bhaskara Acharya dengan teori koefisien binomial, di mana teori ini sangat bergantung pada kombinasi. Meskipun udah ada sejak lama, tapi ternyata kombinasi ini baru mendapatkan perhatian pada abad ke-17 oleh matematikawan Perancis bernama Blaise Pascal dan Pierre de Fermat.

Aplikasi Rumus Kombinasi dan Permutasi dalam Kehidupan Sehari hari

Apa sih fungsi permutasi dan kombinasi di dalam kehidupan kita sehari-hari? Banyak guys. Seperti menyusun telur dalam wadah dengan susunan yang berbeda, membuat plotingan pekerjaan saat kerja kelompok, membuat daftar piket, membuat susunan tempat duduk, memilih ketua kelas, memilih perwakilan kelas, memilih pakaian, dll.

Banyak juga kan fungsi kombinasi dan permutasi bagi kehidupan kita. Kamu bisa menyebutkan contoh lain gak dari aplikasi kombinasi dan permutasi ini?

Oke, segitu dulu ya uraian tentang rumus kombinasi dan permutasi. Buat kamu yang masih penasaran sama materi ini dan mau belajar tentang konsep lebih jauh lagi, Zenius udah menyediakan video pembelajaran yang bisa kamu akses secara gratis >> Materi Permutasi dan Kombinasi.

Baca Juga Artikel Lainnya

Rumus Peluang dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari hari
Kumpulan Rumus Matematika Lengkap dengan Keterangannya
Poker – Permainan Menggunakan Teori Peluang