Pengertian Elips Beserta Rumus dan Contoh Soalnya – Materi Matematika Kelas 10

pengertian elips dan persamaannya zenius education

Elo tahu, nggak, bentuk elips itu seperti apa? Telur? Hmm … langsung saja, deh, kita bahas pengertian elips di sini, yuk!

Siapa yang suka pelajaran Matematika? Mayoritas mungkin menjawab, “Bukan gue, fix”. Udah bukan rahasia lagi sih, banyak orang yang nggak suka pelajaran Matematika.

Gue suka pelajaran Matematika, tapi nggak semua hal tentangnya gue suka. Ada beberapa materi yang kalau menurut gue mudah dan  gue suka. Tapi, kalau menurut gue itu materi susah, gue jadi nggak suka. Hehe.

Meskipun demikian, bukan berarti gue langsung menghindar kalau dihadapkan dengan materi yang susah. Tentunya, berusaha untuk belajar mencari solusinya adalah hal yang sangat penting. 

Balik lagi ke matematika. Pada dasarnya, ilmu yang satu ini tuh termasuk dasar, sekaligus alat bantu yang penting untuk elo dalam mempelajari berbagai bidang ilmu lainnya. Misalnya Fisika, Kimia, dan Ekonomi. Semua itu ada ilmu matematikanya, kan?

Termasuk materi yang akan kita bahas kali ini, yaitu tentang bentuk elips. Selain ada di Matematika, kita juga akan menemukan materi ini di Kimia dan Fisika dalam pembahasan yang lebih luas lagi.

Nanti deh, gue kasih tahu korelasinya. Sekarang, kita bahas pengertian elips dulu, yuk!

Pengertian Elips

Sebelum ke pengertian elips, gue mau ngajak elo untuk flashback. Saat duduk di bangku kelas 11, elo belajar tentang irisan kerucut. Di materi tersebut, elo mengenal istilah parabola, elips, dan hiperbola—yang gue maksud di sini bukan majas hiperbola ya.

Hubungan ketiganya dengan kerucut terlihat pada gambar di bawah ini.

Irisan kerucut dapat membentuk lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola.
Irisan kerucut dengan berbagai posisi berbeda akan memberikan bentuk yang berbeda juga. (Arsip Zenius)

Nah, dari gambar di atas, ceritanya elo mau memotong atau mengiris bangun kerucut pada berbagai posisi.

Ketika posisi pisaunya horizontal, maka irisan yang diperoleh berbentuk lingkaran. Ketika posisinya miring nggak sampai ujung, maka bentuk yang diperoleh adalah elips. Ketika posisinya miring sampai ke ujung atau alas kerucut, maka akan membentuk parabola. Sedangkan, ketika posisinya vertikal atau tegak lurus, maka bidang potongnya berbentuk hiperbola.

Kalau disatukan, semua irisannya akan terlihat seperti ini.

Irisan kerucut elips, lingkaran, parabola, dan hiperbola pada sebuah kerucut.
Irisan kerucut yang menghasilkan berbagai bentuk. (Arsip Zenius)

Kalau kita lari ke pelajaran Fisika, kita bisa menghubungkan bentuk-bentuk tersebut dengan gerak benda di ruang angkasa.

Baca Juga: Bunyi Hukum Kepler 1, 2, dan 3

Bentuk lingkaran sama seperti orbit Bumi terhadap Matahari. Irisan kerucut elips sama seperti orbit bulan terhadap Bumi. Bentuk parabola sama seperti orbit komet—ketika elo pernah melihat komet A, maka elo gak akan bisa melihatnya lagi, karena lintasannya berbentuk parabola (si komet akan mati ketika di ujung lintasan). Sedangkan, bentuk hiperbola itu sama seperti orbit Oumuamua—kalau udah pernah lihat, gak akan muncul lagi di masa depan.

Elo bisa melihat ilustrasi orbit dari benda-benda langit sesuai dengan irisan kerucut di sini.

Jadi, Apa Itu Elips?

Setelah berkelana mengamati orbit benda ruang angkasa beserta lintasannya—yang ternyata bisa diperoleh dari irisan kerucut—elo udah bisa mendefinisikan pengertian elips, belum?

Elips merupakan salah satu bagian dari kerucut yang dihasilkan ketika sebuah bidang memotong kerucut secara miring, tapi nggak sampai memotong alasnya. Elo bisa melihat lagi bentuk gambar elips pada irisan kerucut sebelumnya.

Bagaimana bentuk gambar elips sesungguhnya? Nih, gue kasih bentuk elips.

Elips terdiri dari sumbu mayor dan sumbu minor.
Bentuk gambar elips dan pengertian elips. (Arsip Zenius)

Ibaratnya gini, ketika akan membuat elips, maka elo membutuhkan dua buah pin yang dipasang di suatu papan. Kemudian, letakkan karet atau tali berbentuk lingkaran yang saling dikaitkan pada kedua pin.

Membuat bentuk elips dari dua pin dan tali.
Cara membuat bentuk elips. (Arsip Zenius)

Tarik salah satu sisi lingkaran menggunakan pensil hingga membentuk segitiga, tandai ujung dari tali yang ditarik tersebut. Tarik sisi lain dengan cara yang sama. Satukan titik-titik yang ditandai tadi hingga membentuk satu bentuk yang utuh.

Nah, bentuk itulah yang dinamakan elips. Elo juga bisa menyebutnya oval. Jadi, bisa kita definisikan pengertian elips sebagai berikut.

Elips merupakan himpunan atau lokus dari semua titik di satu bidang yang jarak antar dua titiknya tetap.

Elips juga bisa dikatakan sebagai lingkaran yang dipanjangkan ke satu arah. Jadi, bentuknya bukan lingkaran sempurna. Paham ya sampai sini?

Baca Juga: Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran dan Contoh Soal

Nah, setelah mengetahui pengertian elips dan irisan kerucut. Selanjutnya, elo akan mempelajari bagaimana persamaan elips ketika digambarkan dalam koordinat kartesius.

Persamaan Elips

Perhatikan gambar di bawah ini!

Persamaan elips dalam suatu garis koordinat.
Geometri elips dalam titik koordinat. (Arsip Zenius)

Keterangan:

a: sumbu semi mayor.

b: sumbu semi minor.

c: Jarak titik fokus.

Gambar di atas termasuk elips, di mana pada ruas garis yang melalui titik fokus disebut sumbu mayor, dan ruas yang tegak lurus dengannya melalui pusat elips disebut sumbu minor. Nah, setengah dari masing-masing sumbu tersebut adalah sumbu semi mayor dan sumbu semi minor.

Nah, berdasarkan gambar di atas, maka kita bisa menghitung nilai eksentrisitasnya (e).

Rumus Eksentrisitas

Apa itu eksentrisitas? Eksentrisitas merupakan derajat keelipsan. Yang mana, nilai e adalah 0 < e < 1.

Semakin lonjong suatu elips, maka nilai eksentrisitasnya akan semakin besar. Sebaliknya, semakin bulat atau mendekati lingkaran, maka nilai eksentrisitasnya semakin kecil. Ini dia rumus eksentrisitas atau derajat keelipsan.

Pengertian Elips Beserta Rumus dan Contoh Soalnya - Materi Matematika Kelas 10 73

Setelah mengetahui cara menentukan nilai eksentrisitas, selanjutnya kita hitung persamaan elipsnya.

Rumus Elips atau Persamaan Elips

Dengan menempatkan elips pada diagram kartesius atau grafik x-y, kita bisa menghitung persamaan elipsnya. Sumbu mayor kita tempatkan pada sumbu-x dan sumbu minor kita tempatkan pada sumbu-y.

Berikut adalah persamaan elipsnya.

Pengertian Elips Beserta Rumus dan Contoh Soalnya - Materi Matematika Kelas 10 74

Persamaan di atas digunakan untuk menghitung elips dengan titik pusat di (0,0) dan sumbu mayor sejajar dengan sumbu-x.

Nah, untuk persamaan elips yang titik pusatnya di (0,0) dan sumbu mayornya terletak sejajar sumbu-y, maka rumusnya adalah sebagai berikut.

Pengertian Elips Beserta Rumus dan Contoh Soalnya - Materi Matematika Kelas 10 75

Lalu, gimana kalau titik pusatnya bukan di (0,0), melainkan di (p,q)? Oke, rumusnya akan menjadi seperti ini.

Pengertian Elips Beserta Rumus dan Contoh Soalnya - Materi Matematika Kelas 10 76

Untuk menentukan nilai c (titik fokus), maka berlaku persamaan pythagoras.

a2 = b2 + c2

Baca Juga: Cara Menggunakan Rumus Pythagoras dan Contoh Soalnya

Rumus Luas dan Keliling Elips

Kita udah tahu pengertian elips, nih, bahwa elips merupakan salah satu bangun datar. Artinya, kita bisa menghitung luas dan kelilingnya. Sama seperti lingkaran, iya nggak?

Luas lingkaran dihitung berdasarkan jari-jarinya (π.r2), sedangkan luas elips tergantung pada panjang sumbu mayor dan sumbu minor.

Luas elips = π.a.b

Keliling elips merupakan jarak total yang ditempuh oleh batas luarnya. Kalau di lingkaran, kita bisa menghitungnya dengan mudah menggunakan rumus 2.π.r atau π.d, karena jarak dari titik pusat ke setiap lokus atau garis luarnya sama semua.

Sedangkan, elips memiliki dua sumbu (mayor dan minor). Sehingga, rumus keliling elips menggunakan rumus aproksimasi (pembulatan) berikut ini.

Pengertian Elips Beserta Rumus dan Contoh Soalnya - Materi Matematika Kelas 10 77

Kenapa pakai aproksimasi, bukan sama dengan? Karena, keliling elips susah dihitung (ada dua sumbu, nggak seperti lingkaran). Jadi, kita gunakan perkiraan untuk menentukan kelilingnya.

Persamaan Garis Singgung Elips

Di lingkaran, kita udah belajar menentukan persamaan garis singgung. Lalu, bagaimana dengan garis singgung elips? Nih, elo perhatikan dulu yang dimaksud dengan garis singgung.

Pengertian garis singgung lingkaran dan latus rectum.
Latus rectum dan garis singgung elips. (Arsip Zenius)

Untuk menentukan persamaan garis singgung, maka elo bisa menggunakan rumus di bawah ini (jika diketahui gradien garisnya (m)).

  • Jika titik pusatnya di (0,0) dan sumbu mayor sejajar sumbu-x, maka persamaan garis singgung elipsnya adalah y = mx ± √a2m2 + b2.
  • Jika titik pusatnya di (0,0) dan sumbu mayor sejajar sumbu-y, maka persamaan garis singgung elipsnya adalah y = mx ± √a2 + b2m2.
  • Jika titik pusatnya di (p,q) dan sumbu mayor sejajar sumbu-x, maka persamaan garis singgung elipsnya adalah y – q = m(x – p) ± √a2m2 + b2.
  • Jika titik pusatnya di (p,q) dan sumbu mayor sejajar sumbu-y, maka persamaan garis singgung elipsnya adalah y – q = m(x – p) ± √a2 + b2m2.

Uraian mengenai lingkaran bisa elo pelajari lagi di video belajar Zenius dengan klik banner di bawah ini.

belajar matematika zenius

Contoh Soal Elips dan Pembahasannya

Supaya elo makin paham dengan pengertian elips dan berbagai persamaannya, gue punya contoh soal dan pembahasan dari materi ini, lho. Cekidot!

Contoh Soal 1

Tentukan nilai eksentrisitas dari persamaan elips 9x2 + 16y2 + 36x – 32y – 92 = 0!

Jawaban dan pembahasan:

Kita ubah dulu persamaan kuadrat tersebut menjadi persamaan elips.

9x2 + 16y2 + 36x – 32y – 92 = 0

9x2 +  36x + 16y2 – 32y = 92

9 (x2 + 4x) + 16 (y2 – 2y) = 92

9 [(x + 4/2)2 – (4/2)2] + 16 [(y-2/2)2 – (2/2)2] = 92

9 [(x + 2)2 – 4] + 16 [(y – 1)2 – 1] = 92

9 (x + 2)2 – 36 + 16 (y – 1)2 – 16 = 92

9 (x + 2)2 + 16 (y – 1)2 = 144

Pengertian Elips Beserta Rumus dan Contoh Soalnya - Materi Matematika Kelas 10 78

Pengertian Elips Beserta Rumus dan Contoh Soalnya - Materi Matematika Kelas 10 79

Nah, persamaan elips udah kita peroleh nih. Dari situ, kita udah mendapatkan nilai a dan b. Selanjutnya, kita cari nilai c menggunakan teorema pythagoras.

a2 = b2 + c2

16 = 9 + c2

16 = 9 + c2

c2 = 7

c = √7

Sekarang kita cari nilai eksentrisitasnya.

Pengertian Elips Beserta Rumus dan Contoh Soalnya - Materi Matematika Kelas 10 80

Contoh Soal 2

Persamaan garis singgung elips Pengertian Elips Beserta Rumus dan Contoh Soalnya - Materi Matematika Kelas 10 81 dengan gradien √5 adalah ….

Jawaban dan pembahasan:

Diketahui nilai a2 = 9 dan b2 = 4. Karena persamaan elips di atas menandakan bahwa elips terletak pada titik (0,0) pada sumbu-x, maka kita gunakan rumus persamaan garis singgung y – q = m(x – p) ± √a2m2 + b2.

Gradien = √5

y – q = m(x – p) ± √a2m2 + b2

y – 3 = √5 (x + 2) ± √9.5 + 4

y – 3 =  √5x + 2√5 ± √49

y – 3 = √5x + 2√5 ± √7

y = √5x – 2√5 + 3 ± √7

Jadi, persamaan garis singgung elips dari persamaan di atas adalah y = √5x – 2√5 + 3 ± √7.

Contoh Soal 3

Jika panjang sumbu semi mayor adalah 7 cm dan sumbu semi minornya adalah 5 cm, maka berapakah luas wilayah elips?

Jawaban dan pembahasan:

Diketahui a = 7 cm dan b = 5 cm.

Luas elips = π.a.b = π.7.5 = 35π.

Atau, elo juga bisa menghitung nilai π = 22/7.

Luas elips = π.a.b = 22/7.7.5 = 35.22/7 = 110 cm2.

Jadi, luas wilayah elips adalah 110 cm2.

*****

Oke, sampai sini udah paham kan tentang pengertian elips dan persamaannya? Buat yang lebih menyukai belajar dengan nonton video, elo bisa mengakses materi UTBK lainnya di video Zenius. Elo juga bisa mencoba melatih kemampuan dengan level soal yang mirip UTBK beneran di Try Out bareng Zenius.

Baca Juga: Ringkasan Materi SBMPTN Terlengkap – Contoh Soal TPS dan TKA

Bagikan Artikel Ini!