Siapa sangka persamaan kuadrat di Matematika bisa diterapkan di Biologi? Khususnya dalam menentukan distribusi gen dalam sebuah populasi.

Masih inget bagaimana matematika bisa dipakai dalam penemuan Teori Genetika Mendel? Beberapa waktu yang lalu, gue pernah menulis artikel tentang itu. Kalau lu belum pernah baca, lu bisa baca artikel tersebut di sini:

Penerapan Matematika dalam Hukum Hereditas Mendel

Di artikel itu, gue bercerita bagaimana Mendel melakukan eksperimen terhadap puluhan ribu tanaman selama 8 tahun! Dengan pemahaman matematika yang baik, Mendel mampu memproses semua hasil eksperimennya menjadi sebuah Hukum Genetika yang merupakan salah satu hukum paling penting dalam ilmu Biologi.

Pada artikel sebelumnya, gue menunjukkan bagaimana konsep peluang dan statistika di matematika itu berhubungan dengan Hukum Genetika di biologi. Nah, di artikel kali ini, gue mau menunjukkan bahwa pewarisan sifat itu juga ada hubungannya dengan persamaan kuadrat.

Heh, biologi kok pakai persamaan kuadrat?

Penasaran? Lanjut baca terus ya. Tapi berhubung ini juga masih ada hubungannya dengan hukum genetika Mendel, kita review sedikit tentang hukum tersebut ya.

Hukum Genetika Mendel

Mendel menemukan bahwa masing-masing individu memiliki sepasang alel untuk setiap sifat. Mendel menyatakan bahwa alel tertentu bisa memiliki sifat lebih dominan dibanding alel lainnya. Contohnya adalah sifat tinggi atau pendek pada kacang ercis. Sifat tinggi berasal dari alel tinggi, dan sifat pendek dari alel pendek. Biasanya ini disimbolkan dengan “T” untuk alel tinggi dan “t” untuk alel pendek. Karena sifat dominan dari alel tinggi, ketika kedua alel tersebut berpasangan, maka sifat yang muncul adalah sifat tinggi.

Perlu diketahui bahwa Gregor Mendel sudah mengajukan teori ini semenjak 1865, yaitu setelah dia melakukan uji coba selama 8 tahun. Tapi bahkan Mendel sendiri masih ragu bahwa teori ini berlaku umum, yaitu berlaku di berbagai sifat, bukan hanya sifat-sifat yang dia amati. Namun sekitar tahun 1900, teori genetika ini ditemukan kembali oleh beberapa ilmuwan, dan mulai populer. Jadi butuh waktu lumayan lama juga, yaitu 35 tahun, hingga teori ini mulai diterima di kalangan ilmuwan.

Bahkan pada saat teori genetika ini ditemukan kembali, masih banyak yang menganggap teori ini kontroversial. Salah satu argumen yang kritis terhadap teori ini adalah tentang hukum dominasi, yang diajukan oleh Udny Yule. Kira-kira argumennya begini:

“Kalau memang ada alel yang dominan dan resesif, nanti setelah beberapa generasi, yang dominan akan bertambah terus kemudian yang resesif lama-lama akan punah dong!”

Sekarang bayangin kalau lu jadi seorang ilmuwan di masa itu, terus menerima argumen seperti itu. Kira-kira lu akan menganggap bahwa argumen itu adalah argumen yang valid atau enggak? Gimana cara membuktikannya?

Nah, kebetulan di tengah perdebatan hukum genetika mendel itu, ada orang yang namanya Godfrey Harold Hardy. G. H. Hardy ini bukan ilmuwan di bidang Biologi. Dia ini matematikawan yang mendengar diskusi tentang genetika Mendel ini dari Reginald Punnet, ketika mereka berdua sedang bermain cricket. Nggak lama kemudian, G. H. Hardy ini menulis surat yang isinya kira-kira begini:

To the Editor of Science: I am reluctant to intrude in a discussion concerning matters of which I have no expert knowledge, and I should have expected the very simple point which I wish to make to have been familiar to biologists. However, some remarks of Mr. Udny Yule, to which Mr. R. C. Punnett has called my attention, suggest that it may still be worth making… 

Suppose that Aa is a pair of Mendelian characters, A being dominant, and that in any given generation the number of pure dominants (AA), heterozygotes (Aa), and pure recessives (aa) are as p:2q:r. Finally, suppose that the numbers are fairly large, so that mating may be regarded as random, that the sexes are evenly distributed among the three varieties, and that all are equally fertile. A little mathematics of the multiplication-table type is enough to show that in the next generation the numbers will be as (p + q)2:2(p + q)(q + r):(q + r)2, or as p1:2q1:r1, say.  

The interesting question is: in what circumstances will this distribution be the same as that in the generation before? It is easy to see that the condition for this isq2 = pr. And since q12 = p1r1, whatever the values of p, q, and r may be, the distribution will in any case continue unchanged after the second generation.

That’s it. G. H. Hardy menemukan teori Hardy-Weinberg yang sekarang itu jadi terkenal banget di kalangan Biologis hanya dengan satu surat itu aja. Surat yang isinya cuma 3 paragraf dan dibikin berdasarkan pembicaraan main cricket doang. Penurunan matematika yang menurut dia “simple”. 🙂

Okay, itulah prinsip Hardy-Weinberg.

Artikel ini selesai sampai di sini.

Done.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Just kidding… 🙂

Prinsip Hardy-Weinberg

Okay, jadi sebenernya apa sih yang disampaikan oleh G. H. Hardy di surat barusan? Intinya:

Rasio populasi alel nggak akan berubah

Kalau sebelumnya terdapat 90% alel dominan dan 10% alel resesif di suatu populasi, maka pada generasi berikutnya, jumlah populasi-nya akan tetap 90% dan 10%. Jadi, ini secara langsung menegasikan argumen Adny Yule yang bilang bahwa alel resesif lama-lama akan hilang.

Ada beberapa syarat untuk prinsip Hardy-Weinberg itu dipenuhi, di antaranya adalah:

• Jumlah populasinya besar sekali sehingga setiap perkawinan itu bisa dianggap random atau acak.
• Distribusi alel itu merata di cewek maupun cowok. Jadi kalau kita bagi menjadi cewek dan cowok, rasio alel a:A di cowok dan rasio a:A di cewek adalah sama.
• Tidak terjadi migrasi, mutasi, dan seleksi terhadap gen tertentu.

Terus gimana cara G. H. Hardy membuktikannya? Nah, gue akan jelasin ke elu pakai contoh aja ya. Gue mau pakai contoh Albino. Tahu Albino kan ya? Kita lihat gambarnya di bawah ini.

Tangannya putih, rambutnya putih, dan sebagainya. Kenapa bisa begitu? Orang albino itu tidak memiliki pigmen warna. Orang yang rambutnya hitam itu memiliki pigmen warna hitam untuk rambutnya. Orang yang kulitnya sawo matang, punya pigmen kulit sawo matang untuk kulitnya, dan sebagainya. Tapi orang albino itu tidak punya pigmen, makanya warna kulit dan rambutnya putih semua. Albinisme ini tidak hanya muncul di manusia, binatang juga ada yang albino, contohnya binatang-binatang berikut ini.

Ilmuwan sudah meneliti hal ini dan menemukan bahwa sifat albino ini diwariskan melalui gen. Gen albino itu adalah gen resesif, sebut aja bahwa gen ini dibawa oleh alel a. Sementara alel pasangannya, yaitu alel dominannya, A, tidak mengakibatkan albino. Ketika ada individu heterozigot Aa, maka individu tersebut tidak memiliki sifat albino, tapi dia membawa gen albino (carrier).

Diperkirakan terdapat terdapat 1 orang albino di setiap 20.000 populasi yang ada. Jadi bisa disimpulkan bahwa di Indonesia, yang populasinya adalah sekitar 250 juta orang, terdapat sekitar ____ albino. (<- bantu gue untuk mengisi titik-titik tersebut di kolom komentar di bawah ya. Supaya gue tahu bahwa lu juga ikutan menghitung. 🙂 )

Nah, tapi untuk mempermudah pembelajaran kita sekarang, kita nggak pakai perbandingan 1:20.000 karena itu angkanya terlalu kecil. Kita asumsikan aja bahwa dalam satu populasi, perbandingan antara yang albino dan yang tidak albino adalah seperti gambar berikut ini:

Untuk yang albino, kita udah tahu nih bahwa gennya pasti aa. Tapi bagaimana dengan yang non-albino, dia bisa AA bisa Aa. Nah, asumsikan aja kita udah tahu bahwa gennya adalah demikian:

Kalau kita lihat jumlah alelnya di atas, maka kita dapatkan bahwa:

• Alel a terdapat 6 buah.
• Alel A terdapat 14 buah.

Berarti perbandingannya adalah 6:14 atau 3:7.

Hal yang mau kita selidiki sekarang adalah: Ketika generasi ini memperoleh keturunan, bagaimana perbandingan alelnya pada generasi berikutnya? Apakah tetap 3:7?

Untuk menyelidiki hal tersebut, coba aja kita simulasikan. Karena di atas sudah disebutkan bahwa asumsinya adalah gen ini tersebar merata (cewek dan cowok memiliki perbandingan alel yang sama), maka kita bisa menentukan keturunan berikutnya melalui tabel di bawah ini.

	Bapak
Ibu	A	A	A	A	A	A	A	a	a	a
A
A
A
A
A
A
A
a
a
a

Maksud dari tabel di atas adalah distribusi alel pada laki-laki (yang menjadi bapak) adalah 7:3. Distribusi alel pada perempuan (yang menjadi ibu) juga adalah 7:3. Mereka kemudian berpasang-pasangan dan memiliki keturunan. Nah, sekarang coba lo pasang-pasangkan masing-masing alel tersebut untuk menghasilkan generasi berikutnya. Bisa? Hasilnya seperti di bawah ini.

	Bapak
Ibu	A	A	A	A	A	A	A	a	a	a
A	AA	AA	AA	AA	AA	AA	AA	Aa	Aa	Aa
A	AA	AA	AA	AA	AA	AA	AA	Aa	Aa	Aa
A	AA	AA	AA	AA	AA	AA	AA	Aa	Aa	Aa
A	AA	AA	AA	AA	AA	AA	AA	Aa	Aa	Aa
A	AA	AA	AA	AA	AA	AA	AA	Aa	Aa	Aa
A	AA	AA	AA	AA	AA	AA	AA	Aa	Aa	Aa
A	AA	AA	AA	AA	AA	AA	AA	Aa	Aa	Aa
a	Aa	Aa	Aa	Aa	Aa	Aa	Aa	aa	aa	aa
a	Aa	Aa	Aa	Aa	Aa	Aa	Aa	aa	aa	aa
a	Aa	Aa	Aa	Aa	Aa	Aa	Aa	aa	aa	aa

Sekarang coba lu hitung rasio a:A pada generasi berikutnya. Kita hitung ya.

• Jumlah alel a pada tabel di atas adalah:
  • Alel a di kanan bawah =  3x3x2
  • Alel a di kiri bawah = 3×7
  • Alel a di kanan atas = 3×7
  • Total alel a = 18 + 21 + 21 = 60
• Jumlah alel A pada tabel di atas adalah:
  • Alel A di kiri atas = 7x7x2
  • Alel A di kiri bawah = 3×7
  • Alel A di kanan atas = 3×7
  • Total alel A = 98 + 21 + 21 = 140

Ternyata perbandingannya nggak berubah ya.

60:140 = 3:7

So, dari contoh kita barusan ini, kita dapatkan bahwa rasio alel pada generasi berikutnya ternyata sama dengan rasio alel pada generasi sebelumnya! Kira-kira itulah yang dibuktikan oleh G. H. Hardy di surat tersebut.

Untuk Kasus yang Umum

Contoh di atas menunjukkan bahwa kalau perbandingan alel pada awalnya adalah 3:7, maka generasi berikutnya akan menghasilkan perbandingan alel yang 3:7 juga. Jadi, rasionya nggak akan berubah. Nah, sekarang, kita mau lanjut ke contoh yang lebih advanced, untuk membuktikan bahwa ini nggak hanya berlaku di rasio 3:7, tapi berlaku di rasio berapapun. So, untuk melakukan itu, coba kita ganti angka di atas dengan variabel. Kita pakai variabel p dan q, seperti contoh-contoh yang sering dipakai di buku-buku Biologi. Misalkan kita ambil nilai p dan q demikian:

p = Presentase alel A dalam populasi

q = Presentase alel a dalam populasi

Jadi, perbandingan antara jumlah populasi alel A dan alel a adalah p:q. Kita mau membuktikan bahwa pada generasi berikutnya, perbandingannya akan tetap p:q. Gimana caranya? Ikutin terus ya.

Perlu diperhatikan di sini bahwa nilai p dan q kalau kita jumlahkan, hasilnya pasti satu. So, kita punya persamaan ini:

p + q = 1

Pada contoh sebelumnya, kita menggunakan nilai p=0,7 dan q=0,3. Jumlahnya juga satu kan.

Nah, pada generasi berikutnya, bagaimana cara kita menghitung perbandingan alelnya? Konsepnya sebenernya sama aja dengan yang tadi. Kita pakai tabel ini juga:

	Bapak
Ibu		A	a
	A	p2	pq
	a	pq	q2

Jadi jumlah totalnya adalah p² + 2pq + q² = 1.

Sama seperti tadi, kalau kita mau menghitung rasio alel A dan a, kita hitung aja:

• Alel A = 2p² + 2pq 
  • = 2p (p + q)
  • = 2p

• Alel a = 2pq + 2q²
  • = 2q (p + q)
  • = 2q

Sehingga kita dapatkan bahwa perbandingan antara alel A dan alel a adalah 2p:2q, yang bisa kita sederhanakan menjadi p:q. Intinya perbandingan alelnya antara generasi sebelum dan sesudahnya, tidak ada perubahan. Kalau sebelumnya p:q, maka generasi setelahnya akan memiliki perbandingan alel yang p:q juga.

Kasus Albino yang Sebenarnya

Pada contoh yang pertama, kita tidak menggunakan angka sebenarnya untuk rasio populasi albino (80% non albino dan 20% albino). Nah, kali ini, gue mau mengajak lu untuk menghitung kalau kita menggunakan rasio yang sebenarnya. Kemudian menggunakan teknik yang kita pelajari di contoh yang ke dua, gue mau menunjukkan bahwa kita bisa menghitung presentase alel A dan alel a yang terdapat di populasi. Caranya gimana? Balik lagi ke data awal yah, bahwa 1 dari 20.000 orang di dunia ini adalah albino. Kalau kita nyatakan ini dalam presentase, maka kita akan mendapatkan bahwa:

• 0,005% dari populasi adalah albino
• 99,995% dari populasi non-albino

Perlu gue tekankan di sini bahwa dari informasi di atas, kita cuma tahu bahwa individu yang memiliki gen aa adalah sejumlah 0,005%. Kita juga tahu bahwa individu yang memiliki gen AA atau Aa totalnya adalah 99,995%. Tapi berapa persisnya individu yang AA doang? Berapa persisnya individu yang Aa doang? Sampai di sini kita belum tahu apa-apa. Tapi ini bisa dihitung secara probabilistik.

Pertama-tama, kita tentukan dulu variabel p dan q demikian.

p = presentase alel A di populasi

q = presentase alel a di populasi

Pada persamaan di atas, kita tahu bahwa q² itu menunjukkan presentase populasi aa. Kalau begitu, untuk mencari presentase alel q, gimana caranya? Gampang dong, tinggal kita akarin aja:

q² = 0,00005

Kalau kedua ruas kita akarkan (asumsi bahwa nilai q pasti positif ya), maka kita mendapatkan bahwa:

q = 0,007 = 0,7%

Kemudian kita bisa hitung juga nilai p demikian

p + q = 1
p + 0,007 = 1
p = 0,993 = 99,3%

Itu artinya kita mendapatkan bahwa:

• Presentase alel A di populasi adalah 99,3%
• Presentase alel a di populasi adalah 0,7%

Sampai di sini kita sudah berhasil mencari tahu berapa persen jumlah alel A dan alel a di dalam suatu populasi. Ternyata meskipun jumlah albino itu kecil banget (sekitar 0,005% dari populasi), tetapi jumlah alelnya nggak kecil-kecil amat (sekitar 0,7% dari populasi).

Presentase Pembawa (carrier) Albino dalam Populasi

Dengan menggunakan konsep yang sama, kita juga bisa menghitung berapa banyak orang yang terlihat normal, tetapi ternyata membawa gen albino. Gimana caranya? Tinggal kita hitung aja presentase populasi yang memiliki gen Aa. Kenapa gen Aa? Karena gen tersebut fenotipnya normal, tetepi kalau dia memiliki keturunan, maka keturunannya itu bisa memiliki sifat albino karena dia membawa alel a. Ini disebut pembawa atau carrier albino.

Gimana cara menghitung presentase populasi yang memiliki gen Aa?

Gampang aja. Dalam persamaan kita tadi, populasi Aa itu bisa dihitung demikian:

Itu artinya dari setiap 1000 orang, ada sekitar 14 orang yang membawa alel albino (meskipun orang tersebut fenotipnya bukan albino). Atau setiap 71 orang, ada satu orang yang membawa alel albino. Lo bisa iseng-iseng membayangkan kira-kira berapa banyak teman sekolah lu yang menjadi carrier albino. Kalau jumlah temen sekolah lu ada lebih dari 71 orang, mungkin salah satunya ada yang membawa gen albino.  🙂

Gunanya Hardy-Weinberg

G. H. Hardy menemukan prinsip Hardy-Weinberg ini hanya untuk menyanggah argumen Adny Yule yang gue sebutkan di atas. Tapi ternyata, prinsip Hardy-Weinberg ini gunanya banyak banget. Untuk bisa mengerti kegunaannya, coba lo bayangkan hal berikut ini.

Misalkan lu lagi meneliti jumlah alel pada suatu populasi dalam waktu beberapa tahun. Selama beberapa tahun tersebut, ternyata lu mendapatkan bahwa frekuensi alelnya berubah-ubah. Wah, aneh nih. Kok nggak sesuai dengan prinsip Hardy-Weinberg? Nah, sebagai peneliti, kira-kira tebakan lu, apa yang terjadi pada populasi tersebut?

Untuk menjawabnya, kita jabarkan dulu apa aja asumsi yang mendasari Hardy-Weinberg principles ini. Beberapa asumsinya antara lain adalah:

• Organismenya harus diploid
• Repropuksinya harus seksual
• Antar generasi tidak ada overlap
• Populasinya cukup besar
• Perkawinan terjadi secara acak (random – artinya setiap perkawinan memiliki peluang yang sama)
• Tidak terjadi migrasi
• Tidak terjadi mutasi
• Tidak terjadi seleksi

Kalau pada populasi yang lu amati itu organismenya sudah diploid, seksual, populasi besar, tidak ada overlap antar generasi, perkawinan bisa diasumsikan acak, dan tidak terjadi migrasi, maka deviasi terhadap prinsip Hardy-Weinberg ini kemungkinan besar terjadi karena mutasi, seleksi, atau kombinasi antara keduanya. Gue highlight yah:

Deviasi terhadap prinsip Hardy-Weinberg ini kemungkinan besar terjadi karena mutasi, seleksi, atau kombinasi antara keduanya.

Artinya, ada kemungkinan bahwa populasi tersebut sedang berevolusi! Itu sebabnya di kelas 12 lo belajar Hardy-Weinberg ini di dalam bab tentang Evolusi. 🙂

Sel Sabit (sickle cell)

Supaya lo kebayang bagaimana aplikasi Hardy-Weinberg itu dalam mengidentifikasi terjadinya evolusi, kita lihat salah satu contohnya yuk, yaitu pada kasus sel sabit, yaitu sel darah merah yang berbentuk seperti bulan sabit.

Sel darah merah kita itu normalnya berbentuk bundar. Tetapi ada beberapa orang yang memiliki sel darah merah dengan bentuk seperti bulan sabit. Gambarnya ditunjukkan di bawah ini.

Gambar yang nomor 1 adalah sel darah merah normal. Sementara gambar yang nomor 2 adalah sel sabit. Ilmuwan sudah mengetahui bahwa sel sabit ini diturunkan melalui gen. Alel yang membawanya disebut alel sel sabit atau disimbolkan sebagai alel HbS (Sickle Hemoglobin).

Biasanya, sel sabit ini merugikan bagi pemiliknya. Orang yang sel darahnya berbentuk sabit, secara periodik bisa mengalami “krisis sel sabit”, yaitu ketika sel-sel angular menyumbat pembuluh darah yang kecil, sehingga menghambat aliran darah. Pemilik sel sabit ini populasinya kecil, di bawah 3% dari total populasi yang ada. Tapi sekarang coba kita lihat peta berikut ini:

Pada peta di atas, kita lihat bahwa di daerah Afrika Barat, frekuensi alel yang membawa sel sabit ini sangat tinggi, bisa lebih dari 15%. Kenapa bisa begitu?

Setelah diteliti, ternyata ini ada hubungannya dengan malaria. Orang-orang yang memiliki sel sabit ini ternyata lebih imun terhadap penyakit malaria. Ini artinya telah terjadi seleksi alam: orang-orang yang sel darahnya normal di Afrika Barat lebih besar kemungkinannya untuk meninggal karena malaria. Sementara orang-orang yang memiliki sel sabit, justru survive karena tidak terkena malaria.

Sebelum ada wabah malaria, mungkin populasi sel sabit di Afrika Barat juga nggak tinggi-tinggi amat. Mungkin sama lah dengan populasi dunia pada umumnya. Tapi ketika malaria ini mulai mewabah, survival dari orang-orang yang memiliki sel sabit ini meningkat. Makanya sekarang presentase popoulasinya menjadi lebih banyak dibandingkan sebelumnya.

****

Okay, kali ini artikelnya beneran selesai sampai di sini. Semoga cerita panjang lebar gue di atas bisa menjadi inspirasi buat lu untuk melihat integrasi pengetahuan. Setiap bab pada sebuah pelajaran pasti memiliki koneksi. Pelajaran satu dengan pelajaran yang lain juga memiliki hubungan.

Tanpa sumbangsih keahlian matematika G. H. Hardy, Hukum Genetika Mendel mungkin membutuhkan waktu yang lama lagi untuk diterima di kalangan ilmuwan. Sumbangsih matematika G. H. Hardy telah menjadi katalis perkembangan ilmu biologi dan kesehatan yang manfaatnya bisa kita rasakan hingga sekarang.

Menjadi ahli di suatu bidang memang penting banget. Tapi mengeksplorasi berbagai cabang ilmu lain juga ga kalah penting. Eksplorasi tidak akan membuat lo kehilangan jati diri. Eksplorasi malah akan memperkaya keahlian utama lo. Seperti cerita di atas, ketika lo memutuskan untuk menjadi ahli Biologi, eksplorasi di bidang Matematika malah akan membuat lo jadi better biologist. Begitu juga sebaliknya. Eksplorasi seorang ahli matematika di bidang biologi malah akan membuatnya jadi better mathematician. Ini juga berlaku untuk semua bidang pengetahuan. Bahkan antar bidang yang keliatannya ga nyambung sama sekali. 🙂

CATATAN EDITOR

Jika ada di antara kamu yang ingin ngobrol atau diskusi dengan Wisnu seputar topik genetika atau sains secara umum, jangan ragu untuk bertanya pada kolom komentar di bawah artikel ini yak.