Membuktikan Rumus dengan Induksi Matematika

Membuktikan rumus sendiri adalah proses belajar matematika yang tepat. Bagaimana kamu bisa berlatih membuktikan rumus dengan induksi matematika? Semua dijelaskan di sini.

Dalam beberapa kesempatan, baik di blog atau di video zenius.net, kita selalu bilang bahwa yang namanya belajar akan menjadi maksimal apabila lo menguasai konsepnya. Nah salah satu cara melatih pemahaman konsep suatu materi adalah dengan membuktikan rumus. Kenapa? singkatnya sih, dengan membuktikan rumus, kita dituntut untuk memahami beberapa konsep sekaligus. Sebelumnya gue udah pernah nulis tentang pentingnya membuktikan rumus di sini.

Di artikel tersebut gue udah jelasin manfaat yang lo dapet dengan membuktikan rumus, namun di situ emang belum gue jelasin secara teknis langkah atau cara ngebuktiin rumusnya. Nah kali ini gue akan mencoba menjelaskan salah satu cara membuktikan rumus, yaitu dengan induksi matematika.

Bagi lo yang sekarang sekolahnya memakai KTSP 2006, materi induksi matematika ini ga diajarkan. Di Kurikulum 2013, induksi matematika muncul lagi di kelas 12. Di Kurikulum 2013 Revisi, induksi matematika dipindahin jadi kelas 11. Gue pribadi sih suka dengan dihadirkannya kembali materi Induksi Matematika ke kurikulum sekolah, karena materi ini bisa membantu lo memahami lebih dalam tentang matematika, atau bahkan mulai bermain-main dengan philosophy of mathematics. 🙂 Jadi buat lo kelas 11 IPA yang udah pake K13 Revisi di sekolah atau kelas 12 IPA yang pake K13, gue saranin ikutin artikel ini sampe habis. Buat yang memakai KTSP, ya juga gue saranin baca sih. 🙂

induksi-matematika

Apa sih itu induksi matematika?

Seperti yang udah gue singgung di atas, induksi matematika merupakan salah satu cara pembuktian rumus atau pernyataan matematika, atau lebih tepatnya metode pembuktian terhadap suatu pernyataan apakah pernyataan tersebut berlaku untuk setiap kasus. Supaya kebayang, sebaiknya kita langsung ke contoh kasus deh. Kasus yang seperti apa sih yang bisa diselesaikan dengan Induksi Matematika? Kita masuk ke contoh yang sederhana aja deh ya. Misalkan gue punya deret bilangan seperti di bawah ini.

1

Untuk nilai n tertentu, kita bisa mencari jumlah dari deret bilangan di atas. Sebagai contoh, untuk n=2, kita mendapatkan hasil demikian:

2

Ternyata untuk n=2, kita mendapatkan bahwa jumlah deretnya adalah 3.

Bagaimana dengan n=5? Gampang, tinggal kita hitung aja lagi begini:

3

Jumlahnya adalah 15. Kalau untuk n=8 gimana? Sama aja caranya:

4

Kita dapatkan bahwa untuk n=8, jumlah deret tersebut adalah 40.

Kemudian kita mendapatkan informasi bahwa ternyata untuk menghitung jumlah deret tersebut untuk n bilangan asli berapapun, SUDAH ADA RUMUSNYA. Jadi, kita nggak perlu repot-repot menjumlahkan satu per satu seperti di atas, tapi tinggal kita masukkan saja nilai n ke dalam rumus tersebut. Bagaimana tuh rumusnya? Untuk deret di atas, rumus jumlahnya adalah demikian:

5

Wah, asik nih udah ada rumusnya. Berarti tinggal kita masukkin aja nilai n ke persamaan di atas untuk mencari jumlah deret tersebut. Nggak perlu jumlahin satu per satu. Nah, tapi sebagai matematikawan yang baik, kita harus skeptis nih, tahu dari mana bahwa rumus di atas itu benar? Tahu dari mana bahwa rumus tersebut berlaku untuk seluruh nilai n bilangan asli? Atau sederhananya,

Gimana Buktiinnya?

Yup. Gimana buktiinnya kalo rumus Sn di atas udah bener?

Nah, sebelum masuk ke pembuktian dengan Induksi Matematika, coba deh kita tes dulu apakah nilai Sn itu benar untuk nilai-nilai n yang sebelumnya udah kita hitung. Kita mulai dari n=2.

6

Wah, ternyata benar nih. Hasilnya sama untuk n=2. Sekarang coba kita tes untuk n=5.

7

Hasilnya sama lagi nih. Untuk n=8 gimana?

8

Bener lagi! Okay, kalau gitu, bisa kita simpulkan bahwa rumus Sn ini benar lah ya? Eit, tunggu dulu. Kita baru menguji untuk tiga nilai n. Dalam matematika, kita tidak bisa melakukan generalisasi seperti itu. Untuk bisa membuktikan bahwa rumus Sn ini benar untuk semua kasus, kita harus benar-benar bisa membuktikan bahwa rumus Sn ini benar untuk SEMUA nilai n bilangan asli.

Wah, kalau mau membuktikan untuk semua nilai n, kapan selesainya? Kan ada banyak banget yang harus dicoba. Nilai n=9, nilai n=10, nilai n=100, nilai n=84349384, dan seterusnya. Ada tak hingga nilai n yang harus kita coba. Nggak mungkin bisa kita cobain semuanya.

Nah, itulah sebabnya kita perlu membuktikannya dengan menggunakan Induksi Matematika.

Konsep Dasar Induksi Matematika

Dengan menggunakan Induksi Matematika, kita bisa membuktikan rumus Sn di atas tanpa perlu menghitung satu per satu nilai Sn seperti di atas. Caranya simple banget. Kita cuma butuh melakukan dua langkah berikut ini:

  1. Buktikan bahwa rumus tersebut benar untuk nilai n dasar (pada contoh di atas, buktikan untuk n=1).
  2. Buktikan bahwa jika rumus tersebut benar untuk n=k, maka rumus tersebut juga benar untuk n=k+1.

Okay, sampai di sini, coba lo STOP BACA dulu untuk mikir, emangnya kenapa dua langkah tersebut bisa membuktikan Sn benar untuk SEMUA nilai n bilangan asli?

m36dg

Hayo dipikir dulu…

bpbc6

TETOT! Waktunya abis. Jawabannya adalah, karena efek domino.

Efek Domino

Lo pasti tau atau pernah maen domino kan? Yah, bahasa gaulnya gaple :p Emangnya apa nih hubungan antara domino atau gaple ini dengan induksi matematika? Coba kita lihat kedua langkah tersebut satu per satu ya. Mulai dari langkah pertama.

LANGKAH 1: Buktikan bahwa Sn benar untuk n=1.

Langkah pertama ini gampang banget. Tinggal kita masukkan nilai n=1 ke persamaan, terus kita hitung deretnya, beres. Kesimpulannya: S1 benar (Sn benar untuk n=1). Lanjut ke langkah 2.

LANGKAH 2: Buktikan bahwa jika benar untuk n=k, maka dia benar juga untuk n=k+1.

Ini bagian menariknya. Karena pada langkah pertama kita sudah membuktikan bahwa Sn benar untuk n=1, berarti dia benar juga untuk n=2. Kalau Sn benar untuk n=2, maka Sn benar juga untuk n=3. Kalau Sn benar untuk n=3, maka Sn benar juga untuk n=4. Dan seterusnya sampai n tak hingga.

Kalau penjelasan di atas masih kurang jelas, coba telaah pelan-pelan deh ya. Jadi bayangkan bahwa pembuktian yang kita lakukan di langkah 1 dan 2 tadi kita nyatakan dalam dua premis, premis 1 untuk pernyataan pada langkah 2 dan premis 2 untuk pernyataan pada langkah 1. Jadinya begini:

Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn benar untuk n=k+1

Premis 2: Sn benar untuk n=1

Kesimpulan: ?

Nah, kalau kita memiliki dua premis seperti itu, apa kesimpulan yang dapat diambil? Berhubung nilai k=1, berarti k+1 itu adalah 2 dong ya? Berarti kesimpulannya adalah Sn benar untuk n=2. Sekarang kita lanjutkan lagi dengan kesimpulan barusan kita masukkan ke dalam premis 2.

Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn benar untuk n=k+1

Premis 2: Sn benar untuk n=2

Kesimpulan: ?

Kesimpulannya adalah? Gampang ya, yaitu Sn benar untuk n=3. Ini masih bisa kita lanjutkan lagi dengan teknik yang sama. Kesimpulan ini kita jadikan premis 2.

Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn benar untuk n=k+1

Premis 2: Sn benar untuk n=3

Kesimpulan: ?

Apa kesimpulan dari kedua premis di atas? Yup, kesimpulannya adalah, Sn benar untuk n=4. Lo bisa lanjutkan proses ini sampai seterunya kalau mau. Tapi pada suatu titik kita harus berhenti melakukan ini dan mulai berpikir lagi. 🙂

Jadi, kalau proses ini kita lanjutkan, kita akan mendapatkan kesimpulan bahwa Sn benar untuk semua n bilangan asli.

Inilah sebabnya Induksi Matematika sering juga dikait-kaitkan dengan efek domino. Seperti efek domino, meskipun kita cuma menjatuhkan domino yang pertama, akibatnya adalah seluruh domino tersebut akan jatuh secara bergantian, seperti animasi di bawah ini.

ezgif-1088927929

 

Ups, maksudnya ini

giphy

 

Pembuktian dengan Induksi Matematika

Nah, di atas kita udah mempelajari konsep dasar dari Induksi Matematika ya. Sekarang, kita lanjut ke proses pembuktian dengan Induksi Matematikanya. Kita balik lagi ke contoh di atas, yaitu deret ini:

9

Deret ini memiliki Un = n dan Sn = n(n+1)/2. Coba kita buktikan dengan Induksi Matematika bahwa rumus Sn ini benar.

LANGKAH 1: Buktikan bahwa Sn benar untuk n=1.

Bagian ini gampang nih. Kita tahu bahwa untuk n=1, jumlahnya harus sama dengan 1. Berarti kalau S1 itu sama dengan 1, langkah satu beres.

10

Sip. Rumus Sn ini lolos pada langkah satu. Berikutnya, langkah 2.

LANGKAH 2: Buktikan bahwa jika Sn benar untuk n=k, maka Sn juga benar untuk n=k+1.

Nah, untuk bagian ini, teknik membuktikannya adalah dengan membuktikan bahwa persamaan di bawah ini benar.

11

Kalau persamaan di atas benar, itu sama saja dengan membuktikan bahwa jika Sk benar, maka Sk+1 juga benar.

So, kalau kita masukkan n=k dan n=k+1 pada rumus Sn, maka kita akan mendapatkan:

12

Kalau begitu, tinggal kita buktikan saja dengan cara demikian:

13

Bagian (k+1)-nya kita kotakin kemudian kita keluarkan (hukum distributif)

14

Sehingga kita dapatkan:

15

Ternyata hasilnya sama peris dengan Sk+1 yang kita hitung pada tabel di atas. Berarti kita dapat simpulkan bahwa persamaan berikut ini:

16

Adalah benar!

Karena Sn terbukti benar pada langkah 1 dan juga terbukti benar pada langkah 2, maka kita bisa simpulkan bahwa rumus Sn benar untuk semua n bilangan asli! Q. E. D.*

bbhic

Induksi vs Deduksi

By the way, emang kenapa sih kok metode seperti ini diberi nama Induksi Matematika? Apakah ada hubungannya dengan penalaran induktif dalam logika? Nah, sebenernya nggak ada hubungannya karena penalaran yang digunakan dalam Induksi Matematika ini justru penalaran deduktif, bukan penalaran induktif. Loh, kok gitu? Nah, supaya tahu kenapa begitu, kita coba pelajari dulu apa bedanya penalaran induktif dengan penalaran deduktif

Penalaran Induktif yang Beneran

Penalaran induktif yang beneran itu tidak ada hubungannya sama sekali dengan Induksi Matematika. Menurut definisi yang ada di Wikipedia, penalaran induktif itu begini:

Inductive reasoning is reasoning in which the premises are viewed as supplying strong evidence for the truth of the conclusion. While the conclusion of a deductive argument is certain, the truth of the conclusion of an inductive argument is probable, based upon the evidence given.

Jadi, kesimpulan yang diambil dari penalaran induktif itu sifatnya tidak pasti, melainkan “mungkin benar”. Salah satu kecenderungan umum dari penalaran induktif itu adalah dia mengambil kesimpulan general dari berbagai kasus khusus. Contohnya begini:

Joni sering bepergian keliling dunia. Ketika dia ke Amerika, dia melihat seluruh angsa di sana warnanya putih. Ketika dia pergi ke Eropa, dia melihat seluruh angsa di sana warnanya putih juga. Ketika dia pergi ke Tiongkok, ternyata seluruh angsa di sana warnanya juga putih. Akhirnya dia berkesimpulan bahwa seluruh angsa di dunia ini warnanya putih.

Pada contoh di atas, Joni melakukan generalisasi dari berbagai kasus khusus yang dia lihat. Penalaran yang dilakukan Joni ini adalah penalaran induktif. Di sini lo bisa lihat bahwa penalaran semacam itu masih mungkin salah. Bahkan pada kasus ini, ya kesimpulannya memang salah. Kalau aja Joni sempet dateng ke Australia, dia akan melihat angsa yang berwarna hitam di sana. Jadi, kesimpulan bahwa seluruh angsa di dunia ini berwarna putih itu salah.

Terus, apakah argumen induksi ini tidak bisa dijadikan argumen yang kuat? Argumen induksi ini bisa merupakan argumen yang lemah (seperti contoh angsa di atas), bisa juga merupakah argumen yang kuat. Metode ilmiah yang kita gunakan di sains itu juga menggunakan penalaran induktif kok. Contohnya di artikel Fanny yang membahas penelitian tentang rokok. Penelitian tersebut dilakukan kepada segelintir orang, tapi kita bisa mengambil kesimpulan secara general bahwa itu berlaku pada semua orang. Apakah kesimpulannya bisa salah? Bisa. Tapi kemungkinannya kecil karena penelitian semacam itu sudah diulang berkali-kali dengan berbagai konteks dan hasilnya sama.

Kalau tertarik untuk mempelajari lebih banyak tentang penalaran induktif, boleh juga nih nonton video Zenius yang linknya ada di bawah ini:

Penalaran Induktif – Teori

Penalaran Induktif – Soal

Video di atas dibuat sebagai bagian dari persiapan untuk menghadapi TPA SBMPTN.

Penalaran Deduktif

Nah, sekarang kita masuk ke penalaran Deduktif. Kita baca dulu definisinya menurut Wikipedia ya:

Deductive reasoning is the process of reasoning from one or more statements (premises) to reach a logically certain conclusion.

Dari definisi ini jelas ya bahwa penalaran deduktif itu sifatnya pasti. Dalam penalaran deduktif, tidak ada generalisasi. Contoh penalaran deduktif itu seperti ini:

Premis 1: Semua orang akan mati

Premis 2: Socrates adalah orang

Kesimpulan: Socrates akan mati

Contoh di atas adalah contoh klasik penalaran deduktif. Jadi kalau premis 1 dan premis 2 itu benar, maka kesimpulannya juga sudah pasti benar juga. Kita lihat contoh lain yah.

Premis 1: Semua bebek kakinya tiga

Premis 2: Donal adalah bebek

Kesimpulan: Donal kakinya tiga

Nah, di sini kayaknya ada yang salah nih, kok Donal kakinya tiga. Bukannya dua? Apakah kesimpulan di atas itu benar? Well, gara-gara premisnya salah, kesimpulannya jadi salah juga. Tapi penalaran di atas itu adalah penalaran yang valid secara deduktif. Kenapa valid? Karena kalau kita asumsikan premis 1 itu benar, dan premis 2 itu benar juga, maka “Donal kakinya tiga” adalah kesimpulan yang valid, atau bahasa Indonesianya, kesimpulan yang sah.

Biar lebih jelas lo bisa lihat gambar di bawah ini, penalaran induktif menghasilkan kesimpulan yang kuat atau lemah. Sedangkan penalaran deduktif menghasilkan kesimpulan valid dan ga valid.

argument_terminology_used_in_logic

Di zenius.net, lo bisa belajar lebih banyak lagi tentang penalaran deduktif di video berikut ini:

Penalaran Deduktif – Teori

Penalaran Induktif – Soal

Dua video playlist di atas juga bagian dari persiapan menghadapi TPA SBMPTN.

Penalaran Deduktif dalam Matematika

Penalaran deduktif ini adalah central-nya matematika. Berbagai operasi yang lo lakukan di matematika itu dasarnya adalah penalaran deduktif ini. Salah satu contoh yang paling sederhana itu gini:

Premis 1: y = 2x + 3

Premis 2: x = 2

Kesimpulan: y = 2(2) + 3 = 7

Kebayang kan? Jadi kalau kita berasumsi bahwa premis yang pertama benar (y=2x+3) dan premis yang ke dua juga benar (x=2), maka kesimpulan bahwa y=7 juga merupakan kesimpulan yang valid.

Kalau kita mempelajari matematika dengan baik, sebenarnya lo bisa lihat bahwa berbagai pembuktian yang dilakukan dalam matematika itu menggunakan penalaran deduktif ini. Contohnya, ketika kita ingin membuktikan persamaan berikut ini:

17

Kita tinggal gambar diagram seperti ini

18

Kita mulai dengan persamaan Pythagoras pada segitiga di atas.

19

Bagi kedua ruas dengan k2.

20

Akhirnya kita dapatkan begini:

21

Subsitusi nilai x/k dengan cos dan nilai y/k dengan sin, maka kita dapatkan sin2?+ cos2? = 1.

Q.E.D.

Penalaran di atas menggunakan penalaran deduktif. Setiap langkahnya harus valid sehingga kesimpulan yang diambil ya sifatnya pasti, bukan mungkin.

Kalau lo mau makin ngerti lagi tentang penalaran deduktif yang kita gunakan dalam matematika, gue menyarankan lo baca juga artikel gue tentang Euclid deh. Di situ gue menunjukkan bagaimana suatu pernyataan di matematika itu bisa dibuktikan sampai ke “ujung”, di mana dia tidak bisa dibuktikan lagi. Namanya Aksioma atau Postulat.

Induksi Matematika – Deduktif atau Induktif?

Sekarang kita kembali lagi ke Induksi Matematika. Jadi sebenarnya Induksi Matematika ini menggunakan penalaran induktif atau deduktif? Dari deskripsi di atas, jelas lah ya bahwa Induksi Matematika itu menggunakan penalaran deduktif. Karena seperti yang sudah disebutkan di atas, penalaran deduktif ini sifatnya pasti. Dia tidak menggunakan generalisasi dalam mengambil kesimpulan. Ketika kita menyimpulkan bahwa rumus Sn itu berlaku untuk semua n bilangan asli, kesimpulan itu diambil bukan dengan mengambil sample beberapa nilai n. Kesimpulan itu diambil benar-benar dengan melakukan uji secara deduktif kepada seluruh nilai n yang berada dalam ruang lingkup rumus Sn tersebut.

By the way, supaya nggak ada salah kaprah, Induksi Matematika itu tidak hanya dipakai untuk menjumlahkan deret suatu bilangan ya, dia bisa juga dipakai untuk membuktikan pernyataan matematika lainnya, yang biasanya melibatkan bilangan asli. Kalau lo masih belum mengerti dengan penjelasan di atas, lo bisa juga lihat penjelasan versi videonya di sini:

Materi Induksi Matematika Kelas 11 Kurikulum 2013 Revisi

Materi Induksi Matematika Kelas 12 Kurikulum 2013

Jangan lupa untuk perbanyak latihan soal. Di zenius.net juga udah ada beberapa contoh soal terkait Induksi Matematika (termasuk soal-soal yang bukan deret bilangan), di sini:

Soal Induksi Matematika Kelas 11 Kurikulum 2013 Revisi

Soal Induksi Matematika Kelas 12 Kurikulum 2013

 

*) Q.E.D. itu singkatan dari Quod Erat Demonstrandum. Bahasa latin yang jika diterjemahkan secara bebas, kira-kira artinya sama dengan, “Telah dibuktikan kebenarannya”.

==========CATATAN EDITOR===========

Kalo ada di antara kamu yang mau ngobrol atau nanya-nanya sama Wisnu tentang Induksi Matematika atau Penalaran Deduktif – Induktif, langsung aja tinggal comment di bawah artikel ini.

Tertarik belajar dengan zenius.net? Kamu bisa pesan membership zenius.net di sini.