Apa Pentingnya Membuktikan Rumus?

Siapa bilang rumus Matematika harus dihafal? Kamu juga bisa kok membuktikan rumusnya sendiri. Bagaimana caranya akan dijelaskan di sini.

Kalau lo belajar matematika, biasanya cara belajar lo itu gimana sih? Setau gue nih, cara belajar yang paling standard adalah: belajar teorinya, terus latihan soal. Kalau udah bisa ngerjain soal-soalnya, biasanya ngerasa udah ngerti sama materinya. Iya nggak sih? Tapi sadar nggak sih kalau sebenernya bisa aja lo nggak bener-bener ngerti sama materinya tapi tetep bisa ngerjain soalnya?

Gue sering banget nemuin kasus kayak gini. Jujur aja, ini nggak cuma gue temuin di anak-anak yang gue ajar. Tapi gue pernah juga nemuin ini di guru! Beneran. Guru. Ada beberapa orang yang pernah melamar untuk jadi guru di Zenius. Mereka sih bilangnya ngerti beberapa materi tertentu, tapi pas gue kasih beberapa pertanyaan mendasar, mereka nggak bisa jawab loh. Gue rasa kalau guru aja bisa ngerasa begitu, apalagi siswa yah.

Berdasarkan pengamatan gue terhadap beberapa siswa juga sama kasusnya. Ada siswa-siswa yang nilainya bagus di sekolah, tapi ternyata belum bener-bener paham sama konsep matematikanya. Kenapa bisa gitu? Karena banyak soal-soal ulangan yang sebenernya hanya menguji apakah elu:

  • Hafal rumusnya
  • Tau urutan ngerjainnya
  • Bisa ngerjain pakai cara yang diajarin sama guru lo

“Yang penting kan gue bisa ngerjain soalnya. Dapet nilai lumayan juga pas ulangan. Ngapain sih pake pembuktian rumus segala? Ribet! Emangnya gue mau jadi matematikawan/wati!?”

Nah, kalau lo termasuk yang kayak gini, lo harus waspada nih. Karena kalau lo diuji dengan soal-soal yang menguji konsep, misalkan kayak soal-soal SBMPTN, bisa-bisa lo malah nggak bisa ngerjain. Coba deh lo perhatikan tipe soal-soal SBMPTN, konsep banget dan sangat beragam! Kalo lo terusin cara lo dengan ngandelin menghafal rumus, lo bakal ngos-ngosan.

Okay, terus kalau bukan latihan soal, gimana lagi dong belajarnya? Gue punya satu saran: Coba deh mulai sekarang, buktiin berbagai rumus matematika yang lo tau.

Gue kasih satu contoh. Misalnya gue punya soal kayak gini:

(1) y = x^7, berapa nilai \frac{dy}{dx} = ?

 

Soal di atas gampang banget lah ya, terutama kalau lo udah pernah belajar turunan. Mungkin lo udah tau trik ngerjainnya bahwa kalau ketemu x^2 diturunin jadi 2x, kalau ketemu x^3 diturunin jadi 3x^2, dan seterusnya. Sehingga lo tau juga bahwa x^7 itu turunannya adalah 7x^6. Terus secara general, lo tau aturannya begini:

Untuk setiap y = x^n maka turunan dari y adalah \frac{dy}{dx} = n x^{n-1}

Nah, sekarang bisa nggak lo buktiin, kenapa setiap x^n itu turunannya adalah n x^{n-1}? Buktiin bahwa itu berlaku untuk setiap n bilangan bulat dulu aja deh. Untuk bisa ngebuktiin ini aja, udah ada berapa konsep matematika tuh yang harus lo pahamin:

  • Lo harus paham konsep bahwa turunan itu adalah limit untuk \Delta x \rightarrow 0
  • Lo harus tau gimana melakukan aljabar untuk limit-limit tak tentu
  • Lo harus paham gimana menjabarkan (x+h)^n
  • Untuk bisa melakukan penjabaran di atas, lo harus ngerti segitiga pascal atau binomium Newton
  • Lo harus terbiasa bekerja dengan banyak variabel (dan tau kapan harus mengabaikan beberapa hal karena ada yang bisa tercoret jadi nggak perlu lo tulis)

Kira-kira kebayang nggak gimana caranya ngebuktiin rumus di atas? Kalau lo bisa, coba kerjain dan posting hasilnya di comment section di bawah deh (foto aja coret-coretan lo terus upload ke sini).

So…. kalau untuk ngebuktiin satu rumus itu aja udah bisa bikin lo paham sama banyak konsep di matematika, gimana kalau lo bisa ngebuktiin 100 rumus coba? Pasti jadi jago banget deh. Hehehe….

While we’re at it, gue sekalian mau eksplor beberapa hal lagi nih, apa aja keuntungan dari berusaha membuktikan rumus matematika. Keuntungan terbiasa membuktikan rumus matematika ini ngebantu banget buat kehidupan sehari-hari kita lho, dari ngebantu memecahkan masalah, memberikan kepuasan tersendiri, sampe ngebentuk mental kita supaya tahan banting. Manfaat-manfaat ini bisa dirasakan bahkan untuk kita yang tidak berprofesi sebagai matematikawan/wati. Ah masa, sih? Ya udah yuk, kita langsung bahas aja.

Self-explanation

Benefit pertama sebenernya lumayan jelas, yaitu self-explanation. Seperti contoh yang gue tunjukin di atas, dengan membuktikan satu rumus aja, lo sebenernya berusaha menjelaskan ke diri lo sendiri tentang gimana konsep yang lo pakai untuk membuktikan rumus itu.

Ada beberapa studi yang nunjukin kalau self-explanation itu bikin kita lebih cepet jago. Salah satunya studi di beberapa sekolah catur. Anak-anak di sekolah itu dikasih problem catur, terus minta bantuan komputer untuk memecahkan problem itu. Anak-anak yang disuruh menjelaskan kenapa langkah komputer begitu ternyata secara rata-rata jadi lebih jago dibanding anak-anak yang cuma mengamati langkah komputer itu. (de Bruin et al 2006)

Selain itu ada studi juga ke anak-anak kelas 9 yang lagi belajar beberapa teorema di Geometri. Pelajar itu dibagi menjadi dua grup, experiment group sama control group. Pelajar yang masuk ke control group belajar seperti biasa, sementara pelajar yang masuk experiment group dilatih untuk self-explain materi yang mereka pelajarin. Ketika mereka dites dengan soal-soal yang menguji konsep, ternyata pelajar di experiment group lebih bisa ngerjainnya dibanding pelajar di control group. (Wong et. al. 2002)

Jadi self-explanation ini memang terbukti efektif untuk bisa bikin kita ngerti sama materi yang lagi kita pelajarin. Btw, kalau lo doyan ngajar, ada studi juga yang nunjukin kalau mengajar juga bikin lo ngerti sama konsepnya. Sama efektifnya dengan self-explanation. Ini juga nih, kalo lo mau ngetes diri lo apakah lo udah benar-benar paham mengenai suatu materi pelajaran, coba deh lo bantu ajarin teman lo yang belum ngerti. Di situ bakal kerasa banget, sebenarnya pemahaman lo udah sampe mana.

 

Intrinsic motivation

Benefit berikutnya dari berusaha membuktikan rumus itu adalah lo bisa dapetin motivasi intrinsik dari belajar matematika. Kalau lo belum tau apa itu motivasi intrinsik, bagusnya lo baca dulu artikel gue tentang apa yang membuat seseorang termotivasi. Berdasarkan pengalaman gue sendiri, waktu gue SMA, kalau gue berhasil ngebuktiin suatu rumus, langsung ngomong gini dalam hati, “Anjir ternyata gue jago!!!”. Hahaha… padahal sih sebenernya biasa aja, cuma gue betah aja ngutak-utik persamaan itu 3 hari berturut-turut sampe ketemu.

Bukti Rumus

Respon gue rada lebay emang, tapi tetep Archimedes lebih lebay dari gue. Buat yang belum tau, Archimedes segitu senengnya nemuin gaya angkat Archimedes ketika dia lagi berendam di bak mandi, terus dia lari keluar kamar mandi dan teriak-teriak “Eureka!” di jalanan sambil telanjang.

Lo pernah nggak ngerasain seneng kayak gitu? Respon lo gimana? (boleh juga nih lo share di comment section). Well, apa pun bentuk respons lo, pastinya ada lah ya rasa seneng ketika lo berhasil. Menurut gue sih rasa senengnya melebihi rasa seneng ketika berhasil naik level ketika main game deh 🙂

Btw, ada studi juga tentang hal ini. Katanya, orang-orang yang terbiasa dapetin intrinsic motivation (rasa seneng) ketika belajar, ternyata gedenya jadi ketagihan untuk belajar. Terus, kalau lo lihat gimana perkembangan zaman sekarang ini, orang yang bisa survive itu bukan orang yang IPnya 4 atau nilai rapornya bagus aja, tapi orang-orang yang bisa secara konsisten mempelajari hal baru ketika nemuin tantangan baru. Seriously, contohnya gini deh. Jaman dulu mana ada Twitter atau Facebook. Di kuliah 10 tahun yang lalu, mana ada yang belajar tentang Twitter atau Facebook sebagai media marketing? Tapi, sekarang zaman berubah; orang yang kerja di dunia marketing harus bisa adapt dengan cara mempelajari apa aja opportunity yang bisa didapet dengan Twitter dan Facebook. Coba aja lo bayangin tantangan macam apa yang kira-kira akan lo dapet 10 tahun lagi? Kalau lo nggak doyan belajar, akan lumayan susah juga untuk beradaptasi sama perkembangan zaman.

 

Grit – kegigihan

Benefit berikutnya lagi adalah Grit (kegigihan): ngebiasain diri untuk nggak gampang nyerah ketika lo ketemu tantangan. Ngebuktiin rumus itu bukan pekerjaan yang mudah. Ada kalanya beberapa menit aja bisa ketemu, tapi nggak jarang juga butuh beberapa hari. Ada quote yang menurut gue keren banget nih untuk ngegambarin ini:

“It’s not that I’m so smart, it’s just that I stay with problems longer” – Albert Einstein

Kegigihan ini penting banget loh untuk lo milikin, bukan cuma untuk ngerjain soal matematika doang, tapi untuk menyelesaikan persoalan di kehidupan lo juga (cieh). Dalam beberapa tahun ke depan masalah lo itu lebih kompleks dari yang lo hadapi sekarang. Ya, lo bayangin aja beberapa tahun dari sekarang kira-kira persoalan apa aja yang mungkin lo hadapin? Bisa jadi lo bermasalah dalam menyelesaikan karya tulis ilmiah (skripsi) lo, atau ada masalah dalam lingkungan sosial lo, percintaan lo, keluarga lo. Bahkan mungkin juga lo akan menghadapi masalah keuangan yang harus lo atasi sendiri tanpa bantuan dari orang lain.

Itu baru persoalan-persoalan yang sifatnya pribadi. Gimana kalau lo punya visi besar nih; misalnya visi lo itu bisa menyelesaikan persoalan yang dihadapi banyak orang. Misalnya lo berkontribusi dalam penelitian medis, atau perubahan sistem pemerintahan suatu negara. Intinya lo punya niat baik untuk menjadikan dunia jadi lebih baik lah. Semakin besar visi dan niat lo, berarti semakin besar juga dong kegigihan yang harus lo punya untuk bisa mencapai visi lo itu.

 

Mental effort

Benefit berikutnya lagi nih… ngebiasain diri untuk ngasih mental effort yang besar setiap kali lo ketemu masalah. Kalau gue ditanya, “Apa musuhnya berpikir kritis?”, mungkin gue akan jawab, “Berpikir instan“.

Daniel Kahneman pernah ngegambarin bahwa cara berpikir manusia itu terbagi menjadi dua sistem: Sistem 1 dan Sistem 2. Sistem 1 itu adalah kondisi ketika kita berpikir secara intuitif yang nggak banyak menggunakan mental effort ketika berpikir, sementara Sistem 2 sebaliknya, kita berpikir menggunakan reasoning yang membutuhkan mental effort-nya sangat tinggi. Kalau mau tau lebih banyak tentang ini, baca aja sendiri bukunya yah, judulnya Thinking: Fast and Slow. Di sini, gue jelasin singkatnya aja: untuk bisa berpikir kritis, lo harus bisa nempatin diri di sistem 2, biasain diri untuk memberikan mental effort yang besar setiap kali menghadapi masalah. Dengan begitu, lo akan seminimal mungkin terhindar dari berbagai kesalahan berpikir. Contohnya, bisa nggak kejebak sama confirmation bias, nggak percaya gitu aja film Lucy yang bilang kita cuma make otak 10%, kritis soal aktivasi otak tengah, dan lain-lain.

 

The beauty of mathematics

Pythagoras Proof

Terakhir nih, pernah nggak sih lo ngelihat bukti-bukti matematika yang menurut lo elegan banget? Buat orang-orang yang nggak pernah berusaha membuktikan persamaan matematika, mungkin nggak akan ngerasain bahwa pembuktian-pembuktian di matematika itu bisa keren banget. Tapi buat yang sering, pasti bisa mengapresiasi pembuktian-pembuktian matematika yang keren. Kadang-kadang kita bisa bikin pembuktian matematis itu tanpa perlu nunjukin persamaan matematis, atau yang dikenal juga dengan “proof without words“. Contohnya, bukti Teorema Pythagoras dari gambar di samping ini.

Persamaan a^2 + b^2 = c^2 udah terbukti cukup dengan ngelihat gambar aja, nggak perlu nurunin persamaan panjang-panjang. Simple banget, dan elegan. Ini bahkan akan berasa lebih elegan lagi kalau lo pernah berusaha ngebuktiin Teorema Pythagoras pakai persamaan matematis yang jauh lebih ribet. Yah, lo akan banyak nemuin pembuktian-pembuktian yang elegan kalau lo sering-sering latihan. Cobain aja. Cuma dengan begini lo bisa dapetin “The beauty of mathematics” itu.

 

Kira-kira ini membantu persiapan SBMPTN gue juga ngga, ya?

Yup. Pasti ngaruh banget. Soal-soal SBMPTN itu banyak juga yang menguji konsep. Dengan lo berusaha membuktikan rumus-rumus matematika, pastinya ini membantu lo untuk memahami konsepnya, sehingga bikin lo lebih siap menghadapi soal-soal SBMPTN juga.

Justru nih menurut gue, mumpung lo lagi mempersiapkan diri untuk SBMPTN, bikin lah belajar lo ini jadi seru, jangan kering dengan cuma ngafal2in rumus aja. Baca juga tulisan Sabda yang ngomong bahwa perjalanan lo mempersiapkan SBMPTN ini ngaruhnya bukan cuma untuk lulus SBMPTN, tapi juga untuk jangka yang jauh lebih panjang dari itu.

Terus, gue harus mulai dari mana?

Well, lo bisa mulai dari mana aja. Bab apa yang sekarang lo pelajarin? Ada rumusnya, kan? Nah… coba aja lo buktiin rumus yang ada di situ. Kalau lo nggak mau mulai dari situ, gue kasih beberapa list yang lumayan menarik untuk lo cobain deh:

Sekalian boleh juga nih lo coba buktiin beberapa rumus Fisika berikut ini:

Okay, kira-kira itu aja sih hal yang mau gua sampaikan. Mulai sekarang gua tantang lo untuk mengubah cara belajar lo dengan selalu mengutamakan proses berpikir yang runut dan sistematis, salah satu cara yang paling konkrit ya, adalah dengan membuktikan rumus. Dengan melatih cara belajar seperti ini, gua yakin akan berpengaruh juga ke banyak hal lain dalam kehidupan lo, terutama tentang gimana lo memandang suatu masalah dan memilih cara yang paling jitu untuk menyelesaikannya.

REFERENSI GAMBAR:

image credit: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Pythag_anim.gif

 

REFERENSI TULISAN

Wong RM, Lawson MJ, and Keeves J. 2002. The effects of self-explanation training on students’ problem solving in high-school mathematics Learning and Instruction 12(2): 233-262
de Bruin ABH, Rikers RMJP, and Schmidt HG. 2007. The Effect of Self-Explanation and Prediction on the Development of Principled Understanding of Chess in Novices. Contemporary Educational Psychology 32(2):188-205
http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-sciences/laureates/2002/kahnemann-lecture.pdf
http://www.learningandthinking.co.uk/BK_PAUK_000214.pdf

—————————CATATAN EDITOR—————————

Kalo ada yang mau ngobrol lebih lanjut sama Wisnu, jangan malu-malu langsung aja tinggalin comment di bawah artikel ini.

Tertarik belajar dengan zenius.net? Kamu bisa pesan membership zenius.net di sini.