Permodelan Matematika - Zeno Paradox

“Mase kerjaane opo tho mas?”
"Eh nganu.. aku kerja di bidang permodelan..”
“Oalah.. mase keenakan donk, ketemu model melulu tiap harinya”
“Oh.. bukan itu mbak,  aku kerja buat bikin Permodelan Matematika”

 

Ada yang tau gak kerjaan di bidang Permodelan Matematika itu ngapain? Matematika yang semenjak SD terkesan ‘hanya’ dipakai buat ngitung berapa harga apel yang dibeli Budi atau gimana konversi gula yang dibeli Ibu Budi dari gram ke ons (udah gitu salah pula kurikulumnya), ternyata menyimpan rahasia yang lebih besar.

Sebetulnya kata 'model' sendiri telah mengalami penyempitan makna. Makna dari kata 'model' yang biasanya langsung terlintas di benak masyarakat umum saat ini adalah, beberapa perempuan bertubuh ramping nan rupawan, atau juga beberapa pria yang bertubuh kekar dan ganteng. Padahal maksudnya "model" itu bukan cuma seperti itu. Terus kalau bukan digambarkan di contoh tadi, apa arti model  secara umum?

Model adalah suatu objek, bisa nyata ataupun abstrak, yang mewakili realita. Mungkin lebih terbayang maksudnya kalau misalnya kita merakit model kereta api atau pesawat dengan cara yang detail dari mulai konversi ukuran maupun bahannya. Walaupun tidak sama dengan aslinya, tapi model kereta api atau pesawat itu dibuat dengan perbandingan yang cermat, sehingga menyerupai bentuk aslinya - dan bisa dikatakan mewakili objek sebenarnya. Begitu juga Model Fashion, model menggambarkan realita kalau busana tersebut nantinya di pakai sehari-hari. Nah, Permodelan matematika juga berarti, kita mensimulasikan kenyataan sehari-hari di persamaan matematika. Semakin baik model kita mewakili realitas, semakin akurat kemampuan kita memprediksi kenyataan.

Permodelan matematik pertama yang tercatat di sejarah adalah paradoks yang diajukan oleh filsuf Yunani, Zeno, maka dari itu dinamakan Zeno’s  Paradoks. Baru selesai kata ‘model’ ada lagi kata baru ‘paradoks’. Paradoks adalah suatu pernyataan yg  antara premis dan kesimpulan bertolak belakang. Paradoks terjadi apabila ada premis 1 dan 2 benar, tapi kesimpulan yang terjadi terlihat janggal atau kecil sekali kemungkinannya terjadi di dunia nyata. Walau pengambilan kesimpulannya sudah valid secara logika.

Coba kita baca pernyataannya:

Achiles lomba lari dengan kura-kura. Karena Achiles lebih cepat 10 kali dari kura-kura, Kura kura memulai 10 meter di depan Achiles. Begitu Achiles sampai pada posisi start kura-kura, kura-kura ternyata sudah berada 1 meter di depan Achiles. Begitu Achiles sampai di posisi kura-kura tadi, lagi-lagi kura-kura sudah berada 0.1 meter di depannya.

Kesimpulan : Walaupun jaraknya mengecil, Achiles tetap tidak akan bisa mengejar kura-kura

 

Nah itulah contoh dari paradox. Walau premis awal, Achiles lebih cepat 10 kali benar. Dan Premis 2 bahwa Achiles harus melewati setengah jarak yg dilampaui kura, juga benar. Tapi kesimpulan yang diambil terdengar absurd atau aneh. Di kenyataannya, Achiles (atau manusia manapun) akan menang lomba lari dengan kura-kura, walaupun kura-kura start dengan posisi lebih di depan. Yah, kecuali orangnya kepeleset kulit pisang terus jadi cedera nggak bisa jalan. 😀

Mungkin gambar berikut bisa menggambarkan lomba lari yang  ‘bermasalah’ tersebut..

ZENO PARADOX

Nah, dengan melihat situasi ini secara abstrak dalam pikirannya, Zeno mengajukan paradoks untuk membuktikan ada beberapa premis yang diduga benar, tapi ternyata salah. Akan tetapi ia kesulitan untuk membuktikan argumennya. Apa sebabnya? Satu kata : Penulisan Angka...

Angka yang dipakai di jamannya berupa angka yang dikenal sekarang dengan nama Angka Romawi. Bandingkan tabel dibawah ini antara Angka India-Arab yang kita pakai saat ini dan Angka Romawi. Angka Romawi akan kesulitan ketika masuk ke angka ribuan, dengan puluhan dan satuannya sekaligus.

Arab-India Romawi Arab-India Romawi Arab-India Romawi Arab-India Romawi
1 I 14 XIV 99 LXXXXIX 1001 MI
2 II 19 XIX 100 C 1100 MC
4 IV 20 XX 101 CI 1110 MCX
5 V 29 XXIX 500 D 1111 MCXI
8 VIII 40 XXXX 550 DL 1954 MCMLIV
9 IX 49 XXXXIX 554 DLIV 1990 MCMXC
10 X 50 L 1000 M 2014 MMXIV
Tabel 1 Perbandingan Angka Arab-India dan Romawi

 

Gimana, udah inget pelajaran SD sekarang? 😛

Penulisan Angka romawi itu sulit dipakai untuk perhitungan maka dalam matematika biasanya kita mengkuantifikasi dengan angka India-Arab. Sedangkan angka romawi lebih pas dipakai hanya untuk menyatakan suatu tanda numerical saja, bukan perhitungan - seperti angka pada jam, bab pada buku atau tahun produksi di studio film.

Masalahnya, sistem angka Romawi itulah yang ada pada jaman Zeno. Kalau kita lihat tabel, lebih mudah memahami sistem angka desimal dengan simbol berbeda dari angka  1 sampai 9 yang dipakai para pedagang Arab dan bangsa Yahudi. Tapi masih ada satu hal yang kekurangan dari Angka Romawi dengan angka India, yaitu angka Nol.

Angka nol tercipta karena mitologi India yang percaya pada siklus penciptaan alam semesta oleh Brahma, pemeliharaan oleh Vishnu dan penghancuran oleh Shiva. Semuanya adalah dari ketiadaan yang berulang, yaitu kenihilan. Konsep bahwa penambahan symbol setelah 1, menjadi 10 yang berarti 10 kali lipat nilai 1. Dan penempatan 0 sebelum 1 menjadi 0.1 yg artinya sepersepuluh nilai 1, masih sulit dibayangkan peradaban Yunani Klasik. Konsep angka Nol dari India mengartikan bahwa 0 adalah wadah, dapat diisi angka berapapun. Lalu apa efeknya pada paradox Zeno?

Zeno paradox apabila dibuat permodelan matematiknya dengan sistem angka Romawi. Kita akan kesulitan memahami total jarak yang ditempuh kura-kura, jika kita coba gambarkan dalam angka romawi.

[1]  X + I + I/X + I/C + I/M  dan seterusnya..

Tapi kalau kita konversi menjadi angka yg kita pakai saat ini menjadi...

[2]  10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000  dan seterusnya..

Pada angka Romawi, kita tidak melihat secara aritmetika bahwa jarak yang ditempuh semakin mengecil. Tapi pada contoh kedua, kita melihat bahwa jarak semakin mengecil dari 10 meter sampai ke 0,000001 meter.

Kata “dan seterusnya” di zaman Zeno bisa berarti infinity atau tak terbatas. Menjadi salah pengertian bahwa jarak yg ditempuh kura-kura menjadi tak terbatas dan akan mustahil dikejar oleh Achiles. Sedangkan kata “dan seterusnya” di contoh (2), bisa kita ubah menjadi

[3]  10 + 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 dan seterusnya

Masih ada kata “dan seterusnya” tuh? Ok kita jumlahkan saja menjadi..

[4]  11.111111  atau lebih singkat  11.i

Dan dari garis bilangan, kita tahu bahwa 0.i terletak diantara 1/10 dan 2/10. Dan 0.i bisa disebut dengan 1/9. Maka… penjumlahan 0.1 + 0.01 + 0.001 dan seterusnya akan menjadi semakin dekat ke 1/9, tapi tidak akan pernah melebihi 1/9.

Btw, soal ini bisa juga lo kerjain pakai konsep Deret Geometri Tak Hingga. (<-- ini nge-link ke video Sabda di zenius.net)

[5] Kalimat di atas bisa lebih terbayang dengan hitungan di bawah ini :

0.1

0.01

0.001 +

0.111     --->  1/9

 

[6] Kesimpulannya, kita bisa menulis 11.i dari poin [3] menjadi

11.i = 11 + 0.i 

11.i = 11 + 1/9

11.i = 11 1/9

 

Artinya, jarak yang harus ditempuh Achiles untuk mengejar Kura-kura, bukannya tak terbatas, tapi secara matematika terbukti bisa dikalkulasi yaitu sejauh 11 1/9 meter. Setelah Achiles menempuh jarak itu, maka posisi dia sudah mengungguli kura-kura. Jika dibuat grafiknya antara waktu dan jarak yang ditempuh keduanya, maka akan terlihat di titik mana Achiles akan berada pada posisi sama dengan kura-kura.

Grafik jarak tempuh Achiles dan Kura-kura

Gambar 2 : Grafik jarak tempuh Achiles dan Kura-kura

 

Permodelan matematika untuk menyelesaikan masalah atau paradoks yang diajukan Zeno di jaman Yunani kuno akan mengalami masalah jika menggunakan sistem angka Romawi. Akan tetapi bukan berarti sistem angka Romawi tidak dapat digunakan sama sekali. Terbukti peninggalan Romawi kuno seperti bangunan Colosseum dan Akuaduk yang besar, menggunakan teknik perhitungan angka Romawi.  Mungkin hambatan kemajuan sains dan teknik di jaman klasik, selain masalah sosial, politik dan ekonomi, terletak pada masalah yang mendasar, yaitu sistem penulisan angka.

Angka Arab-India dapat  menyelesaikan paradoks yang terlihat membingungkan pada jaman Yunani Klasik. Keren yah!

Nah, sekarang lo ngerti kan kenapa matematika itu gunanya bukan cuman ngitung dagang jualan di pasar, hehe.. Permodelan matematik sangat banyak digunakan di banyak bidang lho sebetulnya. Jadi salah banget kalo ada yang bilang "Ah, kalo masuk jurusan matematika nantinya jadi apa? paling jadi guru matematika doang". Nih, berikut gw kasih contoh beberapa bidang yang butuh permodelan matematika :

  • Mikrobiologi, untuk melihat model pertumbuhan bakteri di cawan petri dengan deret logaritma.
  • Biokimia, menggunakan regeresi linier untuk melihat hubungan jumlah substrat terhadap kecepatan maksimum enzim.
  • Asuransi dan Keuangan, bidang aktuaria yg menggunakan probabilitas dan statistik inferensi untuk melihat peluang suatu klaim terjadi.
  • Risk Analyst : untuk menghitung probabilitas dan bobot risiko serta menganalisa mitigasinya.
  • Prakiraan cuaca, menggunakan model dan persamaan matematika yg rumit untuk membuat simulasi dunia nyata di dalam komputer dan dapat memberikan prediksi akurat.
  • Planologi, melihat model pertumbuhan kota dan memprediksi daerah kota yang akan menjadi daerah kumuh di masa depan.

Pertanyaannya, “Apakah permodelan matematika dapat secara yakin memprediksi masa depan?” Jawabnya bisa datang dari istilah yang bernama Chaos Theory.

Matematikawan dan praktisi yang bergelut dengan permodelan matematik yg rumit , akan menjawab tidak, untuk pertanyaan tadi. Karena variabel yang ada di alam begitu banyaknya dan sulit membuat prediksi yang akurat. Walaupun nantinya semua variable diketahui, masih ada sesuatu yg sulit diprediksi datang dari persamaan itu sendiri, Chaos theory.

Perbedaan sangat kecil yang masuk ke dalam persamaan akan menjadi berlipat kali lebih besar di hasil akhir. Dan walaupun kita tahu kondisi atau variabel saat ini, dan kita tahu model matematika yang akurat untuk perwakilan realita. Tetap saja, hasilnya akan sulit di prediksi. Bisa kita lihat bagaimana mekanika Newton yg rigid bisa memprediksi gerakan 1 pendulum tapi menghasilkan data yang tidak bisa diprediksi untuk di batang pendulum seperti animasi berikut.

Double-compound-pendulum

Walaupun begitu, paling tidak kita sudah bisa nyaman berada di alam semesta ini. Kita dapat membuat prediksi masa depan dari model matematika yang mewakili realitas. Disinilah keindahan matematika itu sendiri, semua yang ada di alam bisa di terjemahkan ke dalam persamaan. Persamaan matematik, bukanlah deretan angka dan simbol tak bermakna. Penyelesaian persamaan dan problem matematika bukan bertujuan untuk mendapat nilai tinggi di Ujian.  Tapi melihat bagaimana alam mengikuti satu (Uni) irama (Verse).. Universe.

****

Terakhir, mungkin semua tulisan tentang permodelan matematika sebelumnya, bisa dirangkum dengan bagus oleh video berikut…

“Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty. A beauty cold and austere, without gorgeous trappings of painting or music.”

-Bertrand Russel-

 

Sumber acuan :

Lancelot Hogben, Mathematics, the Mirror of Civilization
Coursera, Hannes Leitgeb, Introduction to Mathematical Philosophy
Wikipedia, Zeno’s paradoxes
Wikipedia, Chaos theory
Vimeo, Yann Pineill & Nicolas Lefaucheux, Beauty of Mathematics

 

[Catatan Editor: Nah, kalo lo pengen ngobrolin lebih banyak lagi tentang Zero Paradox ini, boleh banget nih lo comment di sini, nanti pasti dibales deh sama Pras. Kalo lo belum jadi member, pastiin lo gabung sama kita juga ya dengan sign up zenius disini ]

Tertarik belajar dengan zenius.net? Kamu bisa pesan vouchernya di sini.

  • Agung Santoso

    Itu yang ada di gambar achilles sama kura-kura yang terakhir jaraknya bukannya 0.1 m ya? Di gambar tertulis 0.5.

    Trus grafik di gambar 2 juga sepertinya tidak menggambarkan ceritanya, di grafik terlihat start achilles 50 m dan kura kura 100 m padahal di ceritanya perbedaan jarak start antara achilles dan kura-kura 10 m.

    • Glenn Ardi

      Oh iya, thanks! untung lo ingetin.

      • Agung Santoso

        Siip, yang penting asal pada paham aja 🙂

        • Prasdianto

          Untuk grafiknya emang gw buat beda sama persamaannya. Aga bingungin ya? Sorry ya, karena klo sama nanti garisnya ga kelihatan ketemu. Nanti gw buat yg lebih rapi pake Excel, karena itu coretan sketsa di tablet. Makasih udah merhatiin 😀

  • Ivan Alim

    Paradoks Zeno sebenarnya dapat dilihat sebagai aplikasi dari deret geometri infinit dengan suku pertama (a) 10 dan rasio (r) 1/10. Jumlahnya adalah a/(1-r), asalkan nilai absolut dari r lebih kecil dari 1 atau -1<r<1.

    • Prasdianto

      Yup bener, tapi di tulisan sengaja gw ga pake kata "deret geometri infinit" supaya bisa kelihatan alur logikanya dari zaman Yunani klasik. Tadinya gw pikir Zeno ga akrab sama konsep pangkat seperti yg dipake di deret geometri. Tapi gw keinget, kan Phytagoras pake konsep pangkat untuk cari hipothenusa. Mungkin memang konsep bilangan romawi yg menghambat permodelan matematika. Zeno sendiri menggunakan paradoks Achilles dan kura2 untuk mengemukakan masalah ini.

  • Gio

    Wow... videonya keren. 🙂

  • eka utami

    aaakkk suka banget sama kata2 terakhirnya Pras, nanti gue pake pas ngajar di kelas 😀
    "Disinilah keindahan matematika itu sendiri, semua yang ada di alam bisa
    di terjemahkan ke dalam persamaan. Persamaan matematik, bukanlah deretan
    angka dan simbol tak bermakna. Penyelesaian persamaan dan problem
    matematika bukan bertujuan untuk mendapat nilai tinggi di Ujian. Tapi
    melihat bagaimana alam mengikuti satu (Uni) irama (Verse).. Universe."

    • Ardi Holmes

      keren mbk 😀

  • Ardi Holmes

    keren kenapa guru math gw gk ngasih pencerahan gini dari dulu 😀

  • Salma Humaira

    keren

  • annisa

    kak.saya lg sakit gabisa kemana2 pengen gabung zenius buat sbmptn. cara daftar lewat pulsa gimana sih kak:(

  • Salma Sadiah

    keren vidionnya 🙂

  • febosa

    kak.. nanya dong.. kalo mau jago modelling alur belajar dari awal sampe middlenya gimana ?

  • Oktoni Pambudi

    Keren. O ya ka mau tanya 0/0 hasilnya 1 atau tak terdefinisi?