Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) – Materi Matematika Kelas 10

Materi Matematika kelas 10 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) yang disertai contoh soal dan pembahasan.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) jadi salah satu materi Matematika yang elo pelajari di kelas 10. Biar semakin paham, cari tahu pengertian, rumus, dan cara menghitungnya di artikel ini, yuk!

Elo pernah nggak, ada di kondisi di mana elo harus menghitung harga suatu barang? Atau, elo harus mencari nilai suatu hal tertentu?

Misalnya, elo disuruh nyokap buat beli garam, gula, dan teh di warung. Pas udah di rumah, nyokap elo pasti bakal nanya harga satuan barangnya. Padahal, elo cuma bayar sesuai total harga yang disebutkan penjaga warung. Akhirnya, harga barangnya harus elo hitung satu per satu buat jawab pertanyaan nyokap. Ada yang pernah gitu juga?

Contoh lainnya, elo lagi di acara kumpul keluarga besar. Di sana, bokap ngenalin elo sama saudara-saudara yang sebelumnya nggak pernah elo lihat. Misalnya, om yang umurnya 2 tahun lebih tua dari bokap, serta tante yang umurnya 6 dan 8 tahun lebih muda dari om. Waduh, gimana caranya elo tahu umur om dan tante yang sebenarnya?

Kegiatan kumpul keluarga besar yang dihadiri kakek, nenek, paman, tante, dan saudara lainnya.
Ilustrasi kegiatan kumpul keluarga besar. (Dok. Netflix via Giphy)

Nah, elo tahu nggak? Harga satuan barang dan umur anggota keluarga bisa elo temukan dengan menerapkan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Karena, contoh-contoh di atas mengandung tiga variabel yang bisa diselesaikan menggunakan persamaan linear.

Penasaran, nggak sih, gimana cara menemukan solusi dari permasalahan Matematika di atas? Oke deh, nggak perlu berlama-lama lagi. Langsung aja kita bahas tentang sistem persamaan linear tiga variabel, yuk!

Pengertian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Di materi Matematika kelas 10 sebelumnya, elo udah belajar tentang Sistem Persamaan Linear Dua Variabel atau SPLDV. Persamaan ini terdiri dari dua persamaan linear yang masing-masing punya dua variabel.

Sesuai namanya, SPLTV sedikit berbeda SPLDV. Sistem persamaan linear tiga variabel adalah persamaan linear yang mengandung tiga variabel. Misalnya, variabel x, y, dan z.

Supaya elo bisa lebih gampang membedakan antara persamaan linear tiga variabel dengan dua variabel, coba perhatikan contohnya berikut ini.

Diketahui 2x – y = 8 dan x + 2y = 9 adalah sistem persamaan linear dua variabel. Gimana solusi penyelesaiannya? Elo masih ingat, kan?

Di sini, nilai x dan y adalah 5 dan 2. Karena, kalau kedua nilai tersebut elo masukkan ke dalam persamaan, keduanya bakal memenuhi persamaan pertama dan kedua. Artinya, nilai x dan y memenuhi persamaan linear dua variabel tersebut.

Terus, gimana kalau persamaan linear tiga variabel? Kira-kira, sama nggak dengan persamaan linear dua variabel? 

Jadi, sistem persamaan linear tiga variabel punya suatu bentuk umum yang dijadikan sebagai rumus. Rumus sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah sebagai berikut.

Bentuk umum SPLTV yang terdiri dari tiga persamaan linear dengan masing-masing persamaan mempunyai tiga variabel.
Bentuk umum SPLTV (Arsip Zenius)

Tapi, elo nggak cukup menghafal rumusnya aja, ya. Dari rumus ini, setidaknya elo tahu gimana bentuk dan cara menyelesaikan persamaannya. Di sini, elo harus cari nilai x, y, z yang memenuhi persamaan pertama, kedua, dan ketiga.

Contohnya, diketahui sistem persamaan linear tiga variabel seperti di bawah ini.

x + y – z = 2

2x +y + z = 6

x +2y + z = 5

Kira-kira, berapa nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan di atas? Kita coba satu-satu, ya. Misal x, y, dan z adalah (1, 1, 1). Maka,

x + y – z = 2 → 1 + 1 – 1 = 1

Oke, karena (1, 1, 1) nggak memenuhi persamaan linear tiga variabel di atas, sekarang kita coba pakai nilai x, y, dan z adalah (2, 1, 1).

x + y – z = 2 → 2 + 1 – 1 = 2 →  memenuhi

2x +y + z = 6 → 4 + 1 + 1 = 6 → memenuhi

x +2y + z = 5 → 2 + 2 + 1 = 5 → memenuhi

Nah, karena nilai (2, 1, 1) memenuhi ketiga persamaan, artinya solusi dari contoh soal di atas adalah (2, 1, 1).

Tapi, elo sadar, nggak? Contoh soal SPLTV di atas kita kerjakan pakai cara menebak-nebak nilai x, y, dan z. Nggak mungkin, dong, pas lagi ulangan kita pakai cara yang sama? Hm, pasti bakal ngabisin banyak waktu.

Terus, gimana cara menemukan nilai x, y, dan z dari sistem persamaan linear tiga variabel yang sebenarnya? Langsung aja, gue bakal coba jelasin caranya di bawah ini.

Baca Juga: Persamaan Linear Dua Variabel: Metode Eliminasi & Substitusi

Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel biasanya berbentuk himpunan penyelesaian. Kayak yang udah gue tulis di atas, nantinya solusi penyelesaian bakal dinyatakan dalam (x, y, z).

Nah, sekarang pertanyaannya, gimana cara menemukan himpunan penyelesaian itu? Well, sebenarnya ada beberapa cara, di antaranya eliminasi dan substitusi.

Baca Juga: Metode Gabungan Dan Metode Grafik Pada Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Metode Eliminasi

Metode eliminasi SPLTV adalah menghapus atau menghilangkan salah satu variabel dalam persamaan.
Pengertian metode eliminasi dalam SPLTV. (Arsip Zenius)

Misal, diketahui variabel ketiga persamaan adalah x, y, dan z. Di sini, elo bisa menghilangkan variabel z terlebih dulu, atau sebaliknya, untuk menemukan himpunan penyelesaiannya.

Biar lebih gampang dipahami, elo bisa lihat contoh penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel menggunakan metode eliminasi di bawah ini.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) - Materi Matematika Kelas 10 49

Dari contoh di atas, variabel yang dihilangkan adalah y. Jadi, elo dapat persamaan pertama dari hasil eliminasi, yaitu -x + 6z = 11. 

Nah, supaya elo bisa mencari nilai x dan z, di sini butuh persamaan lainnya yang punya variabel x dan z juga. Menurut elo, gimana caranya? Betul banget, elo bisa ambil persamaan pertama dan ketiga dari soal. Tapi, jangan langsung elo eliminasi karena kalau dieliminasi yang hilang nilai z-nya. 

Karena yang kita butuh eliminasi adalah nilai y, semua unsur dari persamaan 1 bisa elo kalikan 2 dan unsur dari persamaan 2 elo kalikan dengan 1. Jadinya begini, deh.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) - Materi Matematika Kelas 10 50

Oke, sekarang elo udah punya 2 persamaan, kan? Artinya, balik lagi jadi sistem persamaan dua variabel. Elo udah tahu dong, gimana cara ngerjainnya?

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) - Materi Matematika Kelas 10 51

Ketemu deh, nilai x-nya. Kalau udah kayak gini, elo bisa langsung cara nilai y dan z pakai metode substitusi.

Baca Juga: Persamaan Linear Satu Variabel dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Metode Substitusi

Di SPLDV, elo udah pernah belajar tentang metode substitusi. Gimana, masih inget, kan?

Metode substitusi SPLTV mengubah variabel menggunakan variabel dari persamaan lain.
Pengertian metode substitusi SPLTV. (Arsip Zenius)

Misalnya, seperti contoh soal di atas. Dari metode eliminasi, elo udah dapat nilai x. Selanjutnya, nilai y dan z bisa elo temukan dengan substitusi nilai x ke persamaan yang lain.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) - Materi Matematika Kelas 10 52

Nah, udah lengkap semuanya. Elo udah berhasil menemukan nilai x, y, dan, z. Jadi, dari metode eliminasi dan substitusi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel di atas adalah HP = { (1,0,2) }.

Wah, panjang juga cara menemukan solusi SPLTV. Walaupun cukup banyak langkahnya, elo udah paham, kan, sampai di sini?

Baca Juga: Definisi Fungsi Linear dan Contohnya – Matematika Kelas 10

Kalau elo mau belajar materi sistem persamaan linear tiga variabel lebih dalam lagi, elo bisa tonton video materinya dari Zenius. Caranya, klik aja banner di bawah ini!

materi matematika

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sekarang, biar tahu sampai mana pemahaman elo tentang SPLTV, gue kasih beberapa soal latihan beserta pembahasannya. Usahakan jangan langsung lihat kunci jawabannya, ya. Elo coba dulu kerjakan sendiri, baru deh, cek apakah pilihan elo udah tepat atau belum. Cus, langsung aja cek contoh soalnya!

Contoh Soal 1

Perhatikan bentuk-bentuk persamaan di bawah ini.

(i) x + 2y + z = 4

(ii) a + b + c = 1

(iii) p + 2q – pr = 5

(iv) p – q – r = 9

Berikut yang termasuk sistem persamaan linear tiga variabel adalah ….

a. (i), (ii), dan (iii)

b. (i), (ii), dan (iv)

c. (ii), (iii), dan (iv)

d. (iii) dan (iv)

e. (i) dan (iii)

Pembahasan

Pertanyaan ini membutuhkan pemahaman elo tentang pengertian dari SPLTV. Coba diingat-ingat lagi dari apa yang udah gue tulis di atas, apa sih yang dimaksud sama sistem persamaan linear tiga variabel?

Jelas banget kalau di SPLTV masing-masing persamaannya punya tiga variabel. Dalam soal, semua pilihan persamaannya mengandung tiga variabel, seperti (i) bervariabel x, y, dan z, serta (iv) yang bervariabel p, q, dan r. Terus, apakah semuanya SPLTV? Gimana menurut elo?

Eits, ternyata, ada satu persamaan yang bukan merupakan persamaan linear tiga variabel. Coba elo ingat lagi bentuk umum dari SPLTV. Kalau elo perhatikan, pilihan (iii) nggak sesuai dengan bentuk umum tersebut karena terdapat perkalian antarvariabel yaitu pr.

So, pilihan yang sesuai untuk soal di atas yaitu (i), (ii), dan (iv) alias b.

Contoh Soal 2

Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel:

3x + y + z = 8

x – y + z = 2

2x + 2y + z = 9

Berikut ini yang merupakan solusi dari SPLTV di atas adalah ….

a. (2, 1, 1)

b. (0, 5, 3)

c. (1, 2, 3)

d. (1, 3, 2)

e. (1, 3, 3)

Pembahasan

Sederhananya, solusi soal di atas bisa elo temukan dengan substitusi pilihan jawaban ke persamaan SPLTV-nya. Elo tinggal cari, mana dari pilihan-pilihan itu yang akan memenuhi persamaan. Sekarang, kita coba satu-satu, ya.

  • a. (2, 1, 1) 
    • 3x + y + z = 8
      3(2) + 1 + 1 = 8 → sesuai
    • x – y + z = 2
      2 – 1 + 1 = 2 → sesuai
    • 2x + 2y + z = 9
      2(2) + 2(1) + 1 = 7 → nggak sesuai
  • b. (0, 5, 3)
    • 3x + y + z = 8
      3(0) + 5 + 3 = 8 → sesuai
    • x – y + z = 2
      0 – 5 + 3 = -2 → nggak sesuai
  • c. (1, 2, 3)
    • 3x + y + z = 8
      3(1) + 2 + 3 = 8 → sesuai
    • x – y + z = 2
      1 – 2 + 3 = 2 → sesuai
    • 2x + 2y + z = 9
      2(1) + 2(2) + 3 = 9 → sesuai

Yup, meskipun perlu menghitung pilihannya satu-satu, elo bisa menemukan jawabannya secara mudah. Jadi, pilihan yang tepat adalah c. (1, 2, 3).

Contoh Soal 3

Sebuah toko menjual tiga buku gambar, dua buku tulis, dan satu buku bergaris seharga Rp17.200. Sedangkan, dua buku gambar, tiga buku tulis, dan dua buku bergaris dihargai Rp19.700. Kemudian, Zeni membeli satu buku gambar, dua buku tulis, dan dua buku bergaris di toko itu seharga Rp14.000. Maka, harga satuan buku gambar adalah ….

a. Rp2.600

b. Rp2.700

c. Rp2.800

d. Rp3.900

e. Rp3.000

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, elo perlu mengubah ceritanya ke dalam bentuk persamaan Matematika. Gue bakal lambangkan harga 1 buku gambar dengan x, harga 1 buku tulis dengan y, dan harga 1 buku bergaris dengan z. Sehingga, informasi di soal bisa elo tulis sebagai berikut.

Tiga buku gambar, dua buku tulis, dan satu buku bergaris seharga Rp17.200 → 3x + 2y + z = 17.200

Dua buku gambar, tiga buku tulis, dan dua buku bergaris seharga Rp19.700 → 2x + 3y + 2z = 19.700 

Satu buku gambar, dua buku tulis, dan dua buku bergaris di toko itu seharga Rp14.000 → x + 2y + 2z = 14.000

Sesuai langkah yang sebelumnya udah gue jelasin, pertama-tama elo bisa eliminasi salah satu variabelnya. Di sini, gue coba hilangkan variabel z terlebih dahulu. Caranya:

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) - Materi Matematika Kelas 10 53

Dari metode eliminasi di atas, elo udah mendapatkan dua persamaan baru yang sama-sama punya variabel x dan y aja. Yang awalnya berbentuk sistem persamaan linear tiga variabel, sekarang jadi sistem persamaan linear dua variabel. 

Terus, apa langkah selanjutnya yang harus elo lakukan? Yaudah, hitung aja pakai cara menghitung SPLDV seperti di bawah ini.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) - Materi Matematika Kelas 10 54

Oke, nilai x yang merupakan variabel dari harga satu buku gambar udah elo ketahui. Pas banget, nih. Di soal, harga barang yang ditanyakan adalah buku gambar. Jadi, elo nggak perlu melanjutkan perhitungannya sampai ke harga buku tulis dan buku bergaris. Tapi, boleh juga sih, kalau elo mau memastikannya lagi.

Sehingga, jawaban yang tepat untuk contoh soal ini adalah e. Rp3.000.

Baca Juga: Pengertian Program Linear Beserta Grafik dan Contoh Soalnya

*****

Oke, guys, itulah pembahasan kita tentang sistem persamaan linear tiga variabel. Semoga artikel ini membantu elo buat memahami pengertian, rumus, dan cara pengerjaan SPLTV, ya.

Elo mau belajar materi Matematika yang lainnya? Tenang, di Zenius ada banyak video materi yang bisa elo tonton dan bikin kegiatan belajar elo jadi lebih asik. Langsung aja cek video-videonya di Materi Matematika Kelas 10.

Referensi

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel – Materi Zenius Kelas 10

Cerdas Belajar Matematika – Marthen Kanginan (2007)

Bagikan Artikel Ini!