Cara Menghitung Integral Luas – Aplikasi Integral

Artikel ini akan menjelaskan tentang aplikasi integral, yaitu menghitung luas daerah menggunakan integral.

Halo Sobat Zenius, apa kabar nih? Sesuai dengan judul di atas dapat dipastikan kalau pembahasan ini ke depannya seputar menghitung luas daerah integral.

Materi ini bakal elo pelajari pada mata pelajaran Matematika Wajib Kelas 12. Di artikel sebelumnya, gue udah menjabarkan tentang konsep, rumus, contoh soal dan pembahasan dari aplikasi integral tentu, yaitu integral yang udah diketahui batas atas dan bawahnya.

Baca Juga: Integral Tentu: Konsep, Rumus, dan Contoh Soal

Sekarang, gue bakal fokus membahas aplikasinya. Kalau di artikel sebelumnya gue hanya memberikan ilustrasi kurva dari integral tentu, di mana daerahnya dibatasi oleh a dan b. Maka, di artikel kali ini gue bakal bahas gimana caranya bikin kurva seperti itu dan cara menghitung integral luas daerah.

Apa Itu Aplikasi Integral?

Mayoritas dari elo kalau ngomongin tentang aplikasi ya berarti penggunaan atau penerapannya, betul gak? Dari situlah bisa mengartikan bahwa aplikasi integral adalah penggunaan perhitungan luas suatu daerah yang gak beraturan. 

Yap, persis seperti gambar kurva di atas, kan itu gak jelas ya bentuknya apaan. Kalau bentuknya persegi atau segitiga seperti di bawah ini, elo tau deh rumus perhitungan luasnya.

Elo masih ingat gak rumus untuk menghitung persegi panjang? Iya betul, panjang dikali lebar.

L = p x l = 3 x 5 = 15 satuan luas.

Terus kalau sekarang bentuk kurvanya diubah menjadi seperti ini, gimana cara menghitungnya?

Daerah yang diarsir punya bentuk beraturan.  Elo bisa gunakan rumus segitiga yang dibagi dua atau menggunakan rumus trapesium. Misalnya kita gunakan rumus trapesium, yaitu atas tambah bawah, kemudian dibagi dua dan dikali tinggi.

L = (a+b) x t = x (6+10) x 2 = 16 satuan luas.

Nah, sekarang gimana kalau elo nemu kurva yang bentuknya gak beraturan? Cara mencari luasnya gimana sih kalau bentuknya aja gak beraturan seperti kurva integral tentu yang udah gue kasih ilustrasinya di atas? Oke, langsung aja disimak pembahasannya di bawah ini!

Tapi sebelum kita lanjut bahas integral, yuk download dulu aplikasi Zenius buat dapetin akses ke ribuan contoh soal dan materi lainnya. Belajar jadi makin seru, deh. Klik gambar di bawah ini, ya!

Integral Luas terhadap Sumbu-X

Kalau elo menemukan ada suatu daerah yang dibatasi oleh fungsi f(x) pada interval a,b, gimana sih cara ngitung luas daerahnya? 

Nah, cara yang paling tepat untuk menghitung luas daerah dari suatu fungsi adalah dengan membagi daerah tersebut menjadi bentuk persegi panjang dengan lebar yang sama sebanyak mungkin dan ukuran sekecil mungkin mendekati titik 0.

Coba elo perhatikan gambar kurva di bawah ini!

Ketika elo menemukan kurva yang gak beraturan, elo bisa mengakalinya dengan menggunakan persegi untuk mengukur luasnya. Kalau elo pakai persegi seperti pada gambar 1, elo gak bisa menghitung semua luasnya secara rata, karena di sana ada ruang yang gak elo hitung. 

Nah, supaya perhitungannya rata, elo tetap bisa menggunakan persegi, tapi dengan ukuran yang sangat kecil hingga mendekati titik 0 dan sebanyak mungkin sampai memenuhi daerah tersebut, bisa dibilang tak hingga lah ya saking kecilnya. Integral bisa menjadi solusinya.

Gimana caranya menghitung luas daerah yang diarsir dengan integral? Perhatikan uraian konsep di bawah ini!

1. Persegi panjang yang memenuhi luas daerah dari a ke b itu kan ukurannya harus sangat kecil hingga mendekati titik 0, nah Δx yang mendekati 0 itu kita sebut dengan dx.
2. Kita tetap menggunakan rumus luas persegi panjang (L= p x l).
3. Coba lo lihat gambar di atas, pada gambar 1 itu gue tulis “tiap 1 persegi” iya kan? Nah, ada rumusnya di situ kalau panjangnya (p) adalah f(x) dan lebarnya (l) adalah dx, sehingga menjadi L = f(x_i).dx.
4. Sekarang kita jumlahkan semua persegi yang memenuhi daerah di bawah kurva tersebut. Jumlah itu kita lambangkan dengan ∫ (integral). Sehingga rumus aplikasi integral tentu terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut:

Contoh Soal dan Pembahasan

Gak afdal rasanya kalau belum ada contoh soalnya, iya gak? Tenang, karena gue udah nyiapin contoh soal dari aplikasi integral tentu terhadap sumbu-x. Simak contoh soal integral luas daerah dan penyelesaiannya di bawah ini ya, elo siapkan pulpen dan kertas juga untuk corat-coret!

Contoh soal integral tentang luas daerah yang diarsir. Dari kurva integral di atas, kita tau kalau integral tersebut termasuk dalam integral tentu, karena memiliki batas atas (2) dan bawah (3). Sekarang, berapa sih luas daerah yang diarsir tersebut?

Langsung kita kerjain, yuk!

Nah, gak susah kan? Kalau elo lupa cara ngitungnya gimana, coba elo liat lagi artikel gue sebelumnya tentang integral tentu. Kalau masih bingung juga, elo bisa langsung tanya di kolom komentar ya!

Integral Luas terhadap Sumbu-Y

Elo gak perlu bingung kalau ternyata menemukan kurva dengan sumbu-y, seperti berikut ini.

Rumusnya masih sama dengan yang di atas, hanya saja untuk aplikasi integral tentu terhadap sumbu-y ini nilai x-nya adalah f(y). Sehingga, rumus yang digunakan sebagai berikut:

Menghitung Luas di Antara Dua Kurva

Aplikasi integral punya banyak variasi bentuk kurva. Jadi, elo harus tau semua jenisnya, termasuk yang akan kita bahas sekarang, yaitu daerah yang terletak di antara dua kurva. Kebayang gak? Seperti ini bentuknya.

Nah loh, gimana cara menghitungnya? Tenang, jangan pusing dulu kalau lihat soal dengan kurva seperti di atas. Elo hanya perlu mengurangi aja kok. Perhatikan uraian konsep dan rumus di bawah ini!

Elo masih ingat sifat integral tentang pengurangan dan penjumlahan? Ketika elo menemukan ada integral yang batas atas dan bawahnya sama, elo tinggal kurangkan atau jumlahkan aja. Sehingga, diperoleh rumus menghitung luas daerah di antara dua kurva, yaitu:

Contoh Soal dan Pembahasan

Langsung aja kita masuk ke contoh soal dan pembahasan supaya lebih tergambar gimana sih cara mengerjakannya.

Kita tetap gunakan kurva di atas, dengan keterangan sebagai berikut:
a = 1
b = 3
f(x) = x²+4
g(x) = x

Kita cemplungin angkanya ke dalam rumus:

Gimana, bisa kan menghitungnya? Gampang lah yaa. Oke, seperti biasa kalau elo menemukan kesulitan atau kejanggalan dari perhitungan yang gue tulis di atas, langsung tinggalkan komentar aja supaya gue tau elo bingungnya di bagian apa!

Integral Luas di Bawah Sumbu-X

Dari tadi kita bahas daerah yang letaknya ada di atas sumbu-x. Sekarang gimana kalau kita menemukan kasus daerah yang letaknya ada di bawah sumbu-x? Jadi, kebalik gitu lho. Misalnya seperti ini.

Gak usah pusing duluan, rumusnya sama kok, bedanya tinggal tambahkan negatif di depan integralnya. Seperti ini rumusnya:

Untuk perhitungannya sama kok seperti biasa. Jadi, gak usah bingung ya.

Latihan Soal, Ayo Coba Kerjain!

Nah, biar makin oke nih belajarnya, gue punya soal yang bisa lo kerjakan. Hasil jawabannya bisa elo jawab atau jabarin di kolom komentar!

Dari kurva di atas, gimana sih cara mencari luas daerah yang diarsir? Perlu rumus lain atau konsepnya sama seperti yang udah gue uraikan di atas?

*****

Waktunya mengulas materi. Dari uraian di atas, jadi elo tau nih cara menghitung luas daerah di atas sumbu-x, terhadap sumbu-y, di antara dua kurva, dan di bawah sumbu-x.

Konsepnya semua sama, hanya penurunan rumusnya aja yang bervariasi. Jadi, intinya elo harus paham konsep dulu nih sebelum terjun langsung untuk menghafal rumus luas daerah integral. Kalau dari uraian di atas elo masih aja bingung, mungkin elo emang lebih cocok belajar lewat video. 

Tenang, Zenius punya video tentang materi ini yang bisa elo tonton dan pelajari secara GRATIS! Langsung klik link di bawah ini, eitttssss tapi ingat, elo harus log in dulu untuk bisa mengakses video pembelajaran Zenius.

Link Video Materi: Aplikasi Integral Tentu-Integral Luas

Ini cuplikan videonya:

Oke segitu dulu deh penjelasan mengenai aplikasi integral tentu tentang cara menghitung luas daerah integral. Kira-kira, kalau mencari volume integral gimana ya caranya? Gue bahas tentang volume integral di artikel selanjutnya ya! 

Kalo mau dapetin materi berupa video dan contoh soal, sampai belajar di live class bareng tutor, elo bisa pilih berbagai paket belajar dari Zenius. Elo bisa juga pelajari materi lain dengan klik banner di bawah ini. See you, Sobat Zenius.

Baca Juga Artikel Lainnya

Kupas Tuntas Rumus Kalkulus Dasar: Limit, Turunan, dan Integral

Apa itu Dimensi Tiga: Definisi, Rumus, Jarak, dan Sudut

Rumus Kombinasi dan Permutasi, Apa Sih Perbedaannya?

Originally Published: October 18, 2021
Updated By: Arieni Mayesha