aplikasi integral cara menghitung luas daerah integral zenius

Aplikasi Integral: Cara Menghitung Integral Luas

Artikel ini akan menjelaskan tentang aplikasi integral, yaitu menghitung luas daerah menggunakan integral.

Kalau dilihat dari judul, udah dapat dipastikan kalau pembahasan kita ke depannya seputar menghitung luas daerah menggunakan integral. Materi ini bakal lo pelajari pada mata pelajaran Matematika Wajib Kelas 12. Di artikel sebelumnya, gue udah menjabarkan tentang konsep, rumus, contoh soal dan pembahasan dari integral tentu, yaitu integral yang udah diketahui batas atas dan bawahnya.

Baca Juga: Integral Tentu: Konsep, Rumus, dan Contoh Soal

Sekarang, kita bakal fokus membahas aplikasinya. Kalau di artikel sebelumnya gue hanya memberikan ilustrasi kurva dari integral tentu, di mana daerahnya dibatas oleh a dan b. Maka, di artikel kali ini gue bakal bahas gimana caranya bikin kurva seperti itu dan cara menghitungnya.

kurva integral tentu zenius
Kurva integral tentu

Apa Itu Aplikasi Integral?

Mayoritas dari kita kalau ngomongin tentang aplikasi ya berarti penggunaan atau penerapannya, betul gak? Dari situ kita bisa mengartikan bahwa aplikasi integral adalah penggunaan perhitungan luas suatu daerah yang gak beraturan. Yap, persis seperti gambar kurva di atas, kan itu gak jelas ya bentuknya apaan. Kalau bentuknya persegi atau segitiga seperti di bawah ini, kita tau rumus perhitungan luasnya.

luas kurva berbentuk persegi panjang zenius

Lo masih ingat gak rumus untuk menghitung persegi panjang? Iya betul, panjang dikali lebar.

L = p x l = 3 x 5 = 15 satuan luas.

Terus kalau sekarang bentuk kurvanya kita ubah menjadi seperti ini, gimana cara menghitungnya?

luas kurva berbentuk segitiga zenius

Daerah yang diarsir punya bentuk beraturan. Lo bisa gunakan rumus segitiga yang dibagi dua atau menggunakan rumus trapesium. Misalnya kita gunakan rumus trapesium, yaitu atas tambah bawah, kemudian dibagi dua dan dikali tinggi.

L = Aplikasi Integral: Cara Menghitung Integral Luas 73 (a+b) x t = Aplikasi Integral: Cara Menghitung Integral Luas 73 x (6+10) x 2 = 16 satuan luas.

Nah, sekarang gimana kalau lo nemu kurva yang bentuknya gak beraturan? Cara mencari luasnya gimana sih kalau bentuknya aja gak beraturan seperti kurva integral tentu yang udah gue kasih ilustrasinya di atas? Oke, langsung aja kita simak pembahasannya di bawah ini!

Integral Luas terhadap Sumbu-X

Kalau lo menemukan ada suatu daerah yang dibatasi oleh fungsi f(x) pada interval a,b, gimana sih cara ngitung luas daerahnya? Nah, cara yang paling tepat untuk menghitung luas daerah dari suatu fungsi adalah dengan membagi daerah tersebut menjadi bentuk persegi panjang dengan lebar yang sama sebanyak mungkin dan ukuran sekecil mungkin mendekati titik 0.

Coba lo perhatikan gambar kurva di bawah ini!

aplikasi integral tentu luas daerah di bawah kurva zenius

Ketika lo menemukan kurva yang gak beraturan, lo bisa mengakalinya dengan menggunakan persegi untuk mengukur luasnya. Kalau lo pakai persegi seperti pada gambar 1, lo gak bisa menghitung semua luasnya secara rata, karena di sana ada ruang yang gak lo hitung. Nah, supaya perhitungannya rata, lo tetap bisa menggunakan persegi, tapi dengan ukuran yang sangat kecil hingga mendekati titik 0 dan sebanyak mungkin sampai memenuhi daerah tersebut, bisa dibilang tak hingga lah ya saking kecilnya. Nah, integral bisa menjadi solusinya.

Gimana caranya menghitung kurva di atas mengguanakan integral? Perhatikan uraian konsep di bawah ini!

  1. Persegi panjang yang memenuhi luas daerah dari a ke b itu kan ukurannya harus sangat kecil hingga mendekati titik 0, nah Δx yang mendekati 0 itu kita sebut dengan dx.
  2. Kita tetap menggunakan rumus luas persegi panjang (L= p x l).
  3. Coba lo lihat gambar di atas, pada gambar 1 itu gue tulis “tiap 1 persegi” iya kan? Nah, ada rumusnya di situ kalau panjangnya (p) adalah f(x) dan lebarnya (l) adalah dx, sehingga menjadi L = f(xi).dx.
  4. Sekarang kita jumlahkan semua persegi yang memenuhi daerah di bawah kurva tersebut. Jumlah itu kita lambangkan dengan (integral). Sehingga rumus aplikasi integral tentu terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut:

Aplikasi Integral: Cara Menghitung Integral Luas 75

Contoh Soal dan Pembahasan

Gak afdal rasanya kalau belum ada contoh soalnya, iya gak? Tenang, karena gue udah nyiapin contoh soal dari aplikasi integral tentu terhadap sumbu-x. Simak contoh dan pembahasannya di bawah ini ya, lo siapkan pulpen dan kertas juga untuk corat-coret!

contoh soal dan pembahasan menghitung luas integral

Dari kurva integral di atas, kita tau kalau integral tersebut termasuk dalam integral tentu, karena memiliki batas atas (2) dan bawah (3). Sekarang, berapa sih luas daerah yang diarsir tersebut?

Langsung kita kerjain, yuk!

Aplikasi Integral: Cara Menghitung Integral Luas 76

Nah, gak susah kan? Kalau lo lupa cara ngitungnya gimana, coba lo liat lagi artikel gue sebelumnya tentang integral tentu. Kalau masih bingung juga, lo bisa langsung tanya di kolom komentar ya!

Integral Luas terhadap Sumbu-Y

Lo gak perlu bingung kalau ternyata menemukan kurva dengan sumbu-y, seperti berikut ini.

aplikasi integral tentu terhadap sumbu y

Rumusnya masih sama dengan yang di atas, hanya saja untuk aplikasi integral tentu terhadap sumbu-y ini nilai x-nya adalah f(y). Sehingga, rumus yang digunakan sebagai berikut:

Aplikasi Integral: Cara Menghitung Integral Luas 77

Menghitung Luas di Antara Dua Kurva

Aplikasi integral punya banyak variasi bentuk kurva. Jadi, lo harus tau semua jenisnya, termasuk yang akan kita bahas sekarang, yaitu daerah yang terletak di antara dua kurva. Kebayang gak? Seperti ini bentuknya.

menghitung luas integral di antara dua kurva

Nah loh, gimana cara menghitungnya? Tenang, jangan pusing dulu kalau lihat soal dengan kurva seperti di atas. Lo hanya perlu mengurangi aja kok. Perhatikan uraian konsep dan rumus di bawah ini!

Aplikasi Integral: Cara Menghitung Integral Luas 78

Lo masih ingat sifat integral tentang pengurangan dan penjumlahan? Ketika lo menemukan ada integral yang batas atas dan bawahnya sama, lo tinggal kurangkan atau jumlahkan aja. Sehingga, diperoleh rumus menghitung luas daerah di antara dua kurva, yaitu:

Aplikasi Integral: Cara Menghitung Integral Luas 79

Contoh Soal dan Pembahasan

Langsung aja kita masuk ke contoh soal dan pembahasan supaya lebih tergambar gimana sih cara mengerjakannya.

Kita tetap gunakan kurva di atas, dengan keterangan sebagai berikut:
a = 1
b = 3
f(x) = x2+4
g(x) = x

Kita cemplungin angkanya ke dalam rumus:

Aplikasi Integral: Cara Menghitung Integral Luas 80

Gimana, bisa kan menghitungnya? Gampang lah yaa. Oke, seperti biasa kalau lo menemukan kesulitan atau kejanggalan dari perhitungan yang gue tulis di atas, langsung tinggalkan komentar aja supaya gue tau lo bingungnya di bagian apa!

Integral Luas di Bawah Sumbu-X

Dari tadi kita bahas daerah yang letaknya ada di atas sumbu-x. Sekarang gimana kalau kita menemukan kasus daerah yang letaknya ada di bawah sumbu-x? Jadi, kebalik gitu lho. Misalnya seperti ini.

luas daerah integral di bawah sumbu x zenius

Gak usah pusing duluan, rumusnya sama kok, bedanya tinggal tambahkan negatif di depan integralnya. Seperti ini rumusnya:

Aplikasi Integral: Cara Menghitung Integral Luas 81

Untuk perhitungannya sama kok seperti biasa. Jadi, gak usah bingung ya.

Latihan Soal, Ayo Coba Kerjain!

Nah, biar makin oke nih belajarnya, gue punya soal yang bisa lo kerjakan. Hasil jawabannya bisa lo jawab atau jabarin di kolom komentar!

aplikasi integral tentu luas daerah di antara dua kurva zenius

Dari kurva di atas, gimana sih cara mencari luas daerah yang diarsir? Perlu rumus lain atau konsepnya sama seperti yang udah gue uraikan di atas?

*****

Saatnya kita mengulas materi. Dari uraian di atas, kita jadi tau nih cara menghitung luas daerah di atas sumbu-x, terhadap sumbu-y, di antara dua kurva, dan di bawah sumbu-x. Konsepnya semua sama, hanya penurunan rumusnya aja yang bervariasi. Jadi, intinya lo harus paham konsep dulu nih sebelum terjun langsung untuk menghafal rumus. Kalau dari uraian di atas lo masih aja bingung, mungkin lo emang lebih cocok belajar lewat video. Tenang, Zenius punya video tentang materi ini yang bisa lo tonton dan pelajari secara GRATIS! Langsung klik link di bawah ini, eitttssss tapi ingat, lo harus log in dulu untuk bisa mengakses video pembelajaran Zenius

Link Video Materi: Aplikasi Integral Tentu-Integral Luas

Ini cuplikan videonya:

Materi Integral Zenius
Cuplikan video materi Zenius tentang Integral Luas

Oke segitu dulu deh penjelasan mengenai aplikasi integral tentang cara menghitung luas daerah integral. Kira-kira, kalau mencari volume integral gimana ya caranya? Gue bahas tentang volume integral di artikel selanjutnya ya!

Baca Juga Artikel Lainnya

Kupas Tuntas Rumus Kalkulus Dasar: Limit, Turunan, dan Integral

Apa itu Dimensi Tiga: Definisi, Rumus, Jarak, dan Sudut

Rumus Kombinasi dan Permutasi, Apa Sih Perbedaannya?

Bagikan artikel ini