Aplikasi Integral: Cara Menghitung Rumus Volume Benda Putar

Sobat Zenius yang masih duduk di SMA pasti akan berkutat dengan materi volume benda putar. Nah, dalam artikel ini gue mau mengajak elo semua buat membahas aplikasi integral tentu, khususnya dalam mencari rumus volume benda putar menggunakan integral.

Ketika membuka artikel ini, berarti elo udah siap untuk belajar Matematika bareng gue. Iya nggak? 

Kalau gitu, siapkan alat tulis dulu yuk, karena bakal ada latihan soal yang harus elo kerjakan untuk mengetahui sejauh mana sih elo paham sama materi integral ini. 

Di artikel sebelumnya, gue udah bahas tentang cara menghitung luas daerah menggunakan integral. Ada daerah yang terletak di atas sumbu-x, di bawah sumbu-x, terhadap sumbu-y, di antara dua kurva, dll. 

Sebelum bahas lebih lanjut tentang integral volume, elo harus paham dulu nih sama materi integral luas.

Ternyata, integral itu nggak hanya digunakan untuk menghitung luas daerah aja, lho, melainkan juga bisa menghitung volume benda putar. Gimana, sih, maksudnya? Tanpa berlama-lama, kita langsung masuk ke pengertian dari volume benda putarnya dulu deh, yuk!

Baca Juga: Aplikasi Integral – Cara Menghitung Integral Luas

Volume Benda Putar dengan Integral

Di artikel kali ini, elo akan belajar tentang cara menghitung rumus volume benda putar menggunakan integral. 

Kebayang nggak gimana caranya ngitung volume benda putar tapi pake integral? Supaya kebayang, coba elo perhatikan ilustrasi berikut ini.

Sebuah pensil diputar, kemudian putaran pensil tersebut akan menghasilkan lintasan seperti silinder/tabung. 

Nah, yang akan kita hitung dalam aplikasi integral volume adalah lintasan tersebut. Jadi, dari situ kita tau kalau volume benda putar yang dimaksud adalah daerah yang dibatasi oleh kurva dan diputar terhadap suatu garis (misalnya sumbu-x atau sumbu-y) dalam satu putaran penuh (360°).

Terus cara ngitungnya gimana? Kalau elo nemu kurva seperti ilustrasi di atas sih gampang ya. Elo lihat bentuk lintasannya, yaitu silinder. Dari situ elo punya catatan kalau volume silinder adalah luas alas dikali tinggi atau πr²t. 

Udah deh ketemu hasilnya. Tapi, kalau elo menemukan kurva seperti ini, gimana cara ngitungnya?

Gue yakin mayoritas dari elo langsung mengira kalau bangun di atas adalah sebuah kerucut. “Lho memangnya bukan ya?”, coba deh perhatikan lagi baik-baik, selimut dari bangun tersebut melengkung, sedangkan kerucut itu lurus. 

Lalu, ini bangun apa dong? Bangun yang nggak beraturan. Elo masih ingat pengertian dari aplikasi integral kan?

Aplikasi integral adalah penggunaan perhitungan luas suatu daerah yang gak beraturan

Karena bentuk dari bangun di atas nggak beraturan, maka kita gunakan integral untuk menghitung volumenya.

Gimana caranya? Sama seperti konsep integral luas yang menggunakan persegi panjang dengan ukuran sangat kecil hingga mendekati titik 0 dan sebanyak mungkin sampai memenuhi daerah tersebut.

Untuk perhitungan volume benda putar juga kita menggunakan konsep yang sama, namun bentuknya bukan persegi, melainkan silinder/tabung.

Nah, dari konsep tersebut bisa kita tarik menjadi rumus, yaitu:

Dari rumus tersebut, kita ubah menjadi bentuk integral, sehingga akan menjadi seperti ini:

Tinggal masukkan aja deh angka-angkanya. Gampang kan?

Tapi sebelum lanjut, yuk download dulu aplikasi Zenius buat dapetin akses ke ribuan contoh soal dan materi lainnya. Belajar jadi makin seru, deh. Klik gambar di bawah ini, ya!

Volume Mengelilingi Sumbu-x

Nah, sekarang kita udah paham, nih, mengenai rumus volume benda putar. Jika udah, yuk, kita beralih ke contoh soal integral luas daerah dan volume benda putar.

Coba elo perhatikan contoh soal dan pembahasan di bawah ini!

Berapakah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi kurva y=x² dan 0<x<1 (interval 0 sampai 1), jika diputar terhadap sumbu-x?

Jawab:

Gampang aja, elo perhatikan batasnya (dari 0 sampai 1) berarti ambil garis yang di sebelah kanan (positif). Kemudian, diputar terhadap sumbu-x, berarti bentuk perputarannya akan menjadi seperti ini.

Masih ingat konsep integral, kan? Kita gunakan silinder untuk menghitung volume integral, ukuran harus sangat kecil hingga mendekati titik 0 dan sebanyak mungkin sampai memenuhi daerah tersebut.

Dari gambar di atas, kita bisa menguraikan rumus volume benda putar sebagai berikut:

Kalau kita jadikan bentuk integral, maka rumusnya akan menjadi seperti ini:

Jadi, hasil dari integral volume terhadap sumbu-x di atas adalah . Intinya, elo akan membentuk bangun tersebut dari silinder/tabung.

Kemudian, elo cari tinggi dan jari-jarinya berapa. Udah deh, Sobat Zenius tinggal masukkan ke dalam rumus. Gampang lah ya.

Volume Mengelilingi Sumbu-Y

Lalu, gimana caranya kalau benda diputar terhadap sumbu-y? Kita pakai gambar yang sama pada saat menghitung volume mengelilingi sumbu-x di atas ya.

Tapi, soalnya beda nih. Sobat Zenius diminta untuk menghitung volume benda yang mengelilingi sumbu-y. Ini soalnya:

Berapakah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi kurva y=x² dan 0<y<1. Jika diputar terhadap sumbu-y?

Jawab:

Sama seperti konsep sebelumnya, batas integralnya dari 0 sampai 1 dengan y=x² (berarti ). Nah, karena yang diminta adalah mengelilingi sumbu-y, berarti bentuk kurvanya akan seperti ini:

Dengan begitu, kita akan mendapatkan perhitungan seperti di bawah ini:

Ternyata nggak sesulit yang dibayangkan, kan? Intinya Sobat Zenius harus paham konsep dan tau berapa sih jari-jarinya, berapa sih tingginya. Gitu deh, gimana, seru nggak belajar aplikasi integral dan materi volume benda putar?

*****

Itu dia penjelasan singkat dari gue mengenai rumus dan contoh soal integral luas daerah dan volume benda putar.

Nah, sekarang Sobat Zenius udah paham kan cara menghitung volume daerah menggunakan aplikasi integral? Kalau elo masih bingung dengan uraian di atas, elo bisa banget nonton video belajar Zenius tentang Integral Volume. 

Caranya, elo tinggal klik banner di bawah ini, ya!

Di video tersebut, elo bisa belajar mulai dari pengenalan integral volume, volume benda mengelilingi sumbu-x dan sumbu-y, hingga volume benda putar di antara dua kurva. Eitsss, ada contoh soal dan pembahasan yang bisa elo pelajari juga.

Nah, buat elo yang mau belajar lebih lanjut mengenai materi di atas dengan beribu contoh prediksi soal ujian sekolah, elo bisa banget, nih, berlangganan paket Aktiva Sekolah Zenius dengan klik banner di bawah ini!

Baca Juga Artikel Rumus Lainnya

Transformasi Geometri: Definisi, Jenis, dan Rumus

Rumus Kombinasi dan Permutasi, Apa Sih Perbedaannya?

Rumus Peluang dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari hari

Originally published: October 26, 2021
Updated by: Maulana Adieb