Transformasi geometri dengan matriks zenius

Transformasi Geometri dengan Matriks – Materi Matematika Wajib Kelas 11

Materi transformasi geometri bisa dikerjakan menggunakan matriks, lo akan mempelajari materi ini dalam Matematika Wajib Kelas 11, ada matriks translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi.

Halo, Sobat Zenius! Sebelumnya lo udah belajar tentang definisi, jenis, dan rumus dari transformasi geometri di sini. Kalau kita uraikan tiap katanya, “transformasi” artinya perubahan rupa, dan “geometri” berarti cabang ilmu matematika yang mempelajari sifat garis, sudut, bidang, dan ruang. Jadi, secara umum transformasi geometri adalah perubahan rupa yang dilihat dari garis, sudut, bidang, dan ruang. Contohnya saat lo bercermin, ada diri lo yang asli dan ada bayangan lo di cernin. Nah, kalau dalam ilmu ini, posisi awal (misalnya diri lo saat bercermin) adalah (x,y), sedangkan posisi akhir (diri lo di dalam cermin) dinotasikan dengan (x’, y’).

Transformasi Geometri dengan Matriks - Materi Matematika Wajib Kelas 11 113
Contoh aplikasi transformasi geometri dok. Giphy

Lo masih ingat dengan jenis-jenis transformasinya kan? Ada translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Kali ini kita gak akan membahas pengertian dan contoh dari jenis-jenis tersebut secara detail, karena itu udah dibahas di artikel sebelumnya. Nah, yang akan kita bahas kali ini adalah bagaimana jenis-jenis tersebut dibawa ke dalam bentuk matriks.

Baca Juga: Matriks Matematika Itu Apa Sih?

Matriks Translasi

Translasi atau pergeseran merupakan perpindahan suatu titik sepanjang garis lurus. Jadi, si titik itu hanya digeser atau dipindah tanpa diputar atau mengubah ukurannya. Sama halnya ketika di kelas lo ada aturan geser tempat duduk setiap seminggu sekali. Lo hanya bergeser tempat duduk tanpa mengubah arahーyang awalnya menghadap papan tulis menjadi membelakangi papan tulis, gak gitu kan konsepnya?ー dan ukuranーtubuh lo tetap dengan ukuran seperti itu, gak tiba-tiba baru pindah langsung mengecil atau membesar, gak kan?.

contoh transformasi geometri translasi dengan matriks zenius
Contoh transformasi geometri translasi dengan matriks

Dari gambar di atas, kita bisa tau nih kalau posisi awal lo duduk ditandai dengan A, sedangkan posisi lo di tempat duduk baru ditandai dengan A’ (A aksen). Sekarang coba kita tentukan titiknya dilihat dari garis koordinat di atas.

A(1,1) → A’(1+4,1) = A’(5,1)

Sekarang kalau duduknya geser ke belakang, selama masih berada pada sepanjang garis lurus, maka tetap dikatakan sebagai translasi. Berarti kita peroleh hasil pergeseran ke tempat duduk di belakang, yaitu:

A(1,1) → A’(1,1+2) = A’(1,3)

Dari ilustrasi di atas, kita peroleh konsep dan rumus dari transformasi geometri dengan matriks translasi yaitu suatu titik A(x,y) digeser atau ditranslasi sejauh T(a,b)ーa (kanan-kiri) atau b (atas-bawah)ーakan menghasilkan A’(x+a, y+b) atau A’(x’,y’).

x’ = x+a

y’ = y+b

Nah, x’ dan y’ itulah yang akan kita bawa ke dalam bentuk matriks. Maka, bentuknya akan seperti berikut ini:

matriks translasi transformasi geometri zenius
Matriks translasi

Contoh Soal dan Pembahasan Matriks Translasi

Supaya lebih jelas, kita langsung masuk ke contoh soal dan pembahasannya ya. Perhatikan soal di bawah ini!

Contoh Soal 1

Titik A(2,3) digeser sejauh T(1,2). Tentukan A’!

Jawab:

Transformasi Geometri dengan Matriks - Materi Matematika Wajib Kelas 11 114

Jadi, translasi titik A(2,3) adalah A’(3,5)

Contoh Soal 2

Titik A(1,3) ditransformasikan terhadap matriks Transformasi Geometri dengan Matriks - Materi Matematika Wajib Kelas 11 115. Tentukan koordinat hasil transformasi titik tersebut!

Jawab:

Transformasi Geometri dengan Matriks - Materi Matematika Wajib Kelas 11 116

Jadi, koordinat hasil transformasi titik A adalah A’(1,9).

Matriks Refleksi

Refleksi atau pencerminan merupakan perpindahan yang sifatnya seperti cermin. Coba lo lihat ilustrasi kucing bercermin di awal tulisan ini. Nah, itu salah satu contoh dari refleksi. Atau lo coba perhatikan titik pada garis koordinat di bawah ini!

transformasi geometri refleksi dengan matriks zenius
transformasi geometri refleksi dengan matriks

Refleksi Terhadap Sumbu-X

Refleksi terhadap sumbu-x berarti sumbu x adalah cerminnya. Pada ilustrasi di atas, refleksi terhadap sumbu-x digambarkan oleh titik berwarna merah, yaitu A(4,3) dengan refleksinya A’(4,-3). Jadi, yang berubah adalah y-nya, yang awalnya positif menjadi negatif, begitu pun sebaliknya.

(x,y) → (x,-y)

Kalau dibuat bentuk matriksnya, maka akan menjadi seperti ini:

Transformasi Geometri dengan Matriks - Materi Matematika Wajib Kelas 11 117

Refleksi Terhadap Sumbu-Y

Kalau refleksi terhadap sumbu-y, berarti yang menjadi cermin adalah sumbu-y. Pada ilustrasi di atas, refleksi terhadap sumbu-y digambarkan oleh titik berwarna biru, yaitu B(-5,5) dengan refleksinya B’(5,5). Jadi, yang berubah adalah x-nya, yang awalnya negatif menjadi positif, begitu pun sebaliknya.

(x,y) → (-x,y)

Kalau dibuat bentuk matriksnya, maka akan menjadi seperti ini:

Transformasi Geometri dengan Matriks - Materi Matematika Wajib Kelas 11 118

Contoh Soal dan Pembahasan Matriks Refleksi

Supaya lebih jelas, kita langsung masuk ke contoh soal dan pembahasannya ya. Perhatikan soal di bawah ini!

Contoh Soal 1

Tentukan bayangan titik P(1,-3) jika direfleksikan terhadap sumbu-x!

Jawab:

Transformasi Geometri dengan Matriks - Materi Matematika Wajib Kelas 11 119

Matriks Rotasi

Rotasi atau perputaran merupakan bentuk transformasi geometri dengan cara memutar titik sebesar θ derajat. Ada yang diputar 90°, 180°, 270°, dan θ (theta). Dengan catatan bahwa titik pusatnya adalah 0. Supaya lo makin mudah dalam memahami konsep rotasi, coba lo perhatikan ilustrasi berikut ini.

transformasi geometri dengan matriks rotasi zenius
transformasi geometri dengan matriks rotasi

Matriks Rotasi 90°

(x,y) → (-y,x)

Transformasi Geometri dengan Matriks - Materi Matematika Wajib Kelas 11 120

Matriks Rotasi 180°

(x,y) → (-x,-y)

Transformasi Geometri dengan Matriks - Materi Matematika Wajib Kelas 11 121

Matriks Rotasi 180°

(x,y) → (y,-x)

Transformasi Geometri dengan Matriks - Materi Matematika Wajib Kelas 11 122

Matriks Rotasi Theta

Lalu, gimana kalau ada titik yang mau dirotasi, tapi gak diketahui derajat pastinya? Lo bisa menggunakan konsep matriks rotasi theta dengan rumus sebagai berikut.

Transformasi Geometri dengan Matriks - Materi Matematika Wajib Kelas 11 123

Kalau lo masih bingung mengenai rumus yang satu ini, lo bisa langsung nonton video materi Zenius tentang Matriks Rotasi Theta. Tenang, karena lo bisa mengakses videonya secara GRATIS di website atau Aplikasi Zenius. Syaratnya lo harus punya akun Zenius terlebih dahulu. Ini dia cuplikannya:

matriks rotasi theta transformasi geometri zenius
Cuplikan matriks rotasi theta transformasi geometri

Matriks Dilatasi

Dilatasi atau perkalian merupakan perubahan ukuran suatu titik atau objek. Pada matriks dilatasi dengan faktor skala k dan pusat 0, kita bisa ambil contoh suatu titik A(2,3), kemudian didilatasi dengan skala k=2 dan akan menghasilkan bayangan (x’y’). Maka, kita bisa menentukannya dengan cara di bawah ini (lihat titik warna merah).

transformasi geometri dengan matriks dilatasi zenius
transformasi geometri dengan matriks dilatasi

Hasil bayangan dari titik A(2,3) adalah A’(4,6). Sama aja kalau lo mau mengubah skala k-nya menjadi k=3, berarti lo tinggal kalikan titik A dengan skala k=3 menjadi A’(6,9). Sekarang gimana kalau skalanya negatif? Gampang, lo tinggal kalikan aja. Contohnya bisa lo lihat pada gambar di atas (lihat titik warna biru). Di situ ada titik B(3,1) dengan skala k=-2, dari situ lo kalikan aja titik A dengan skala k. Hasil bayangan titik tersebut adalah B’(-6,-2).

Dari contoh ilustrasi di atas, kita bisa menuliskan rumusnya menjadi seperti ini.

(x’,y’) → (kx, ky)

Transformasi Geometri dengan Matriks - Materi Matematika Wajib Kelas 11 124

Lalu, bagaimana dengan matriks dilatasi dengan faktor skala k dan pusat (a,b). Coba lo perhatikan ilustrasi di bawah ini!

matriks dilatasi zenius
matriks dilatasi

Kalau sebelumnya kita menghitung dilatasi dari pusat 0, sekarang kita menghitungnya dari pusat (a,b). Sehingga, rumus yang digunakan adalah sebagai berikut:

Transformasi Geometri dengan Matriks - Materi Matematika Wajib Kelas 11 125

Transformasi Geometri dengan Matriks - Materi Matematika Wajib Kelas 11 126

*****

Gimana nih, sudah paham kan materi tentang transformasi geometri dengan matriks? Jadi, sebelum mempelajari materi ini, pastikan dulu lo paham dengan materi matriks, minimal dasar perhitungannya. Nah, buat lo yang lebih suka belajar menggunakan video bisa langsung mengakses video belajar Zenius secara GRATIS di website atau aplikasi, tentunya log in atau sign in terlebih dahulu ya! Jangan lupa juga tonton video di YouTube Zenius untuk melihat berbagai video bermanfaat, termasuk Teknik Pembuktian Matematika.

Baca Juga Artikel Lainnya

Aplikasi Integral: Cara Menghitung Volume Benda

Aplikasi Integral: Cara Menghitung Integral Luas

Apa itu Dimensi Tiga: Definisi, Rumus, Jarak, dan Sudut

Bagikan artikel ini