distribusi peluang kontinu

Distribusi Peluang Kontinu – Materi Matematika Kelas 12

Saat di kelas, pernah nggak sih kalian iseng memutar pulpen atau pensil kalian di atas meja? Pastinya pernah, dong? Saat iseng memutar pulpen, pernah nggak kalian berpikir ke arah mana pulpen nantinya akan berhenti? 

Ternyata, untuk menentukan peluang arah pulpen berhenti, elo bisa menghitungnya dengan menggunakan rumus distribusi normal, lho! Keren banget, kan? 

Maka dari itu, yuk coba pelajari bersama mengenai distribusi peluang kontinu!

1. Distribusi Kontinu

Kalau elo masih ingat, di pelajaran sebelumnya tentang variabel acak diskrit menggunakan bilangan bulat untuk menyatakan hasil suatu percobaan. 

Nah, untuk peubah acak kontinu elo akan menggunakan bilangan real yang dinyatakan dalam bentuk interval a ≤ X ≤ b  atau batas-batas yang lain. Misalkan f(x) merupakan fungsi peluang peubah acak kontinu X. 

Selain itu, elo juga harus ingat ya, kalau fungsi f(x) memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

  • Luas daerah di bawah kurva f(x) sama dengan 1.
  • Peluang peubah acak X pada interval a ≤ X ≤ b  dinyatakan sebagai berikut:
Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 145

Well, biar semakin paham, kita coba masuk ke contoh soal, yuk!

Contoh Soal Distribusi Kontinu

1. Diketahui :  f(x)= 14 adalah fungsi peluang peubah acak kontinu X pada interval 0 ≤ X ≤ 4. Pernyataan yang benar adalah ….

  1. Fungsi peluang P(2≤X≤4) dapat disajikan dalam bentuk tabel
  2. P(X = 3) =  14
  3. Luas daerah di bawah f(x) pada 0≤X≤4 yaitu 0
  4. P(2 ≤ x ≤ 4) = 12

Jawaban dan Pembahasan:

Diketahui : f(x)=14 adalah fungsi peluang untuk peubah acak kontinu 0 ≤ X ≤ 4. 

Berikut adalah grafik yang dihasilkan:

Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 146

Sehingga :

  • Fungsi peluang f(x) tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel
  • P(X=3)= 14 salah, karena untuk nilai fungsi peluang pada suatu titik di peubah acak kontinu bernilai 0. Hasil dari P(X=3)=0
  • Luas daerah di bawah f(x) pada 0 ≤ X ≤ 4 yaitu 1
Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 147

Hasil dari P(2 ≤ x ≤ 4) merupakan merupakan perbandingan luas daerah pada 2 ≤ X ≤ 4 dengan daerah pada 0 ≤ X ≤ 4 yaitu:

Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 148

Maka, jawaban yang tepat adalah D. P(2 ≤ x ≤ 4) = 12 

Baca Juga: Pengertian dan Contoh Soal Permutasi Siklis – Materi Matematika Kelas 12

2. Distribusi Normal

Distribusi normal atau distribusi Gauss merupakan salah satu jenis fungsi peluang peubah acak kontinu. Kenapa dinamakan distribusi Gauss? Jadi, nama tersebut berasal dari seorang matematikawan asal Jerman bernama Carl Friedrich Gauss.

Gauss telah mengembangkan fungsi Gauss yang sering digunakan di dalam ilmu statistika untuk mendeskripsikan distribusi normal. Grafik fungsi Gauss merupakan kurva yang memiliki bentuk lonceng. 

Nah, coba kalian lihat gambar dibawah ini! Kalau diperhatikan distribusi normal memiliki grafik berbentuk seperti lonceng. 

distribusi normal gauss
Distribusi Gauss (Sumber: Zenius)

Oh iya, elo juga harus ingat nih, bahwa fungsi peluang peubah acak normal bergantung pada nilai rata-rata μ dan simpangan baku σ. 

Fungsi distribusi normal dengan variabel acak didefinisikan sebagai berikut:

Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 149

Keterangan:

Variabel acak X berdistribusi normal dilambangkan X ∼ N (μ, σ) 

μ = parameter untuk rata-rata 

σ = parameter untuk simpangan baku 

𝜋 = konstanta bernilai 3, 14 

е = konstanta bernilai 2,72  

Bentuk kurva pada distribusi normal ditentukan oleh nilai rata-rata dan simpangan baku. Di mana, nilai rata-rata menentukan letak simetri suatu kurva, sedangkan simpangan baku menunjukkan seberapa jauh data tersebut tersebar.

Transformasi dari distribusi normal dengan peubah acak X = μ dan simpangan baku σ ke distribusi normal baku telah dibuatkan tabelnya dengan variabel Z dan rata-ratanya telah ditransformasikan ke 0 dengan menggunakan persamaan sebagai berikut:

Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 150

​Nah, bentuk di atas biasa disebut skor Z atau Z-score nih, Sobat Zenius! Di mana, skor Z ini menunjukkan seberapa jauh relatif terhadap mean. Biar semakin paham, coba masuk ke contoh soal, yuk!

Contoh Soal Distribusi Normal

  1. (1) Mean untuk seluruh distribusi normal adalah.

(2) Kurva distribusi normal memiliki satu titik puncak.

(3) Kurva distribusi normal berbentuk simetris dan menyerupai lonceng.

(4) Semakin besar simpangan baku maka data akan makin menyebar/melebar.

Pernyataan yang bernilai BENAR terkait distribusi normal adalah … 

A. 1 dan 3

B. 2 dan 4

C. 1, 2, dan 3

D. 2, 3, dan 4

E. Semua benar

Jawaban:

Distribusi normal memiliki karakteristik:

1. Grafik memiliki satu titik puncak.

2. Grafik berbentuk simetris dan menyerupai lonceng.

3. Mean untuk distribusi normal berada di tengah grafik dan tidak selalu 0.

4. Bentuk standar distribusi normal memiliki nilai mean 0 dan simpangan baku 1.

5. Simpangan baku menyatakan penyebaran data yang melebar atau memusat.

6. Makin besar simpangan baku suatu data, maka grafik distribusi normal akan makin landai (menyebar/melebar).

Maka, jawaban yang tepat adalah D. 2, 3, dan 4

2. Diketahui: Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 151 adalah fungsi peluang peubah acak kontinu X pada interval Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 152

Pernyataan yang benar adalah ….

A. Fungsi peluang Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 153 dapat disajikan dalam bentuk tabel. B. Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 154 C. Luas daerah di bawah f(x) pada Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 152 yaitu 0 D. Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 156

E. 1

Jawaban:

Distribusi peluang peubah acak kontinu memiliki ciri-ciri :

  • Tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel seperti distribusi peluang untuk peubah acak diskrit.
  • Peluang setiap nilai xx pada peubah acak kontinu memilih nilai 0.
  • Fungsi peluang dinyatakan sebagai perbandingan luas suatu daerah pada interval tertentu dengan luas keseluruhan.
  • Luas keseluruhan peluang pada interval peubah acak kontinu adalah 1.

Diketahui:

Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 157 adalah fungsi untuk peubah acak kontinu Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 152. Berikut adalah grafik yang dihasilkan:
Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 159

Sehingga :

Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 160

Maka, jawaban yang tepat adalah D.

3. Diketahui fungsi kepadatan peluang (probability density function) untuk peubah acak kontinu X:

Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 161

Nilai dari P(X=4) adalah ….

A. 1/3

B. 1/2

C. 1

D. 0

E. 4/3

Jawaban:

Pada fungsi kepadatan peluang (probability density function) untuk peubah acak kontinu X berlaku nilai peluang setiap nilai x hasilnya 0.

Jika diketahui fungsi kepadatan peluang untuk peubah acak kontinu X:

Distribusi Peluang Kontinu - Materi Matematika Kelas 12 162

Nilai dari P(X=4)adalah peluang untuk suatu titik x=4. Sehingga, P(X=4)=0.

Maka, jawaban yang teapt adalah D.

Baca Juga: Distribusi Binomial – Materi Matematika Kelas 12

Finally, selesai juga nih, materi kita hari ini. So, gimana guys, masih ada yang bingung gak? Bagi elo yang punya pertanyaan mengenai materi hari ini, bisa langsung komen di bawah, ya! 

Belajar matematika distribusi normal di Zenius
Bagikan Artikel Ini!