Bisa Nggak Sih 2 + 2 = 10?

Percaya nggak kalau 2+2 bisa jadi 10? Nah untuk kamu yang lagi belajar sistem bilangan Matematika, topik tersebut akan dikupas tuntas pada artikel ini.

Emangnya bisa ya 2 ditambah 2 hasilnya 10, bukan 4 seperti yang umum kita ketahui? Dari mana datangnya?

Nah, kalo akhir-akhir ini blog Zenius dipenuhi tulisan persiapan UN dan SBMPTN, kali ini kita santai aja dulu yuk. Gue mau mengajak lu bermain-main dengan sistem bilangan yang biasa kita pake sehari-hari. Di tulisan kali ini, gue akan memperkenalkan lu ke sistem bilangan lain, di mana 2+2 hasilnya bukan lagi 4, tapi bisa 10!

Dari balita, kita udah diajarin berhitung pake jari dari 1 sampe 10. Gedean sedikit, kita mulai mengenal bilangan 0. Sampe akhirnya kita terbiasa menggunakan sistem bilangan tersebut tanpa pernah ngeh atau bertanya-tanya kenapa harus begitu.

Tapi pernah kebayang nggak sih seandainya ada alien nih misalnya, kira-kira sistem bilangan mereka kayak apa, ya? Sama nggak dengan sistem bilangan kita? Kalau sistem bilangan kita sekarang ini kan cuma menggunakan sepuluh simbol. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, udah. Untuk bilangan setelah 9 gimana? Ya ngulang lagi aja dari 0, tapi tambahin 1 di depannya, jadinya 10. Setelah itu, lanjut lagi 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 18, 19.

Kalau menurut ahli sejarah sih, katanya yang bikin kita punya sepuluh simbol ini karena kita punya sepuluh jari. Kalau misalkan ada alien dan jari mereka ada empat, kira-kira sistem bilangannya kayak apa yah?

Okay, lupakan aliennya. Itu cuma untuk pengantar dan sebenernya nggak ada hubungannya sama yang mau gue tulis di sini 🙂 Tapi kita bisa modifikasi sedikit pertanyaan terakhir itu:

Kalau kita cuma punya empat simbol (bukan sepuluh), kira-kira gimana sistem bilangan yang kita punya?

Sebelumnya, gue kasih tau dulu bahwa sistem bilangan yang kita punya itu namanya basis sepuluh. Basis sepuluh itu ciri-cirinya gini:

  • Cuma punya sepuluh simbol
  • Nggak ada satu simbol yang mewakili bilangan sepuluh
  • Sepuluh itu gabungan 1 dan 0, jadi 10.

Kalau kita tulis urutan bilangannya, jadinya gini:

konsep basis sepuluh

Sekarang, coba bayangin kalau seandainya kita cuma empat simbol. Kira-kira gimana sistem bilangan yang kita punya? Nah, sistem itu namanya basis empat. Ciri-cirinya gimana? Mirip sama basis sepuluh, tapi tinggal ganti aja kata sepuluh dengan kata empat.

  • Cuma punya empat simbol
  • Nggak ada satu simbol yang mewakili bilangan empat
  • Empat itu gabungan 1 dan 0, jadi 10

Kebayang nggak, kira-kira konstruksi bilangannya gimana? Coba lo urutin 0, 1, 2, 3, berikutnya apa? Apa bilangan setelah 3? Karena ini adalah bilangan basis empat, jadi simbol untuk empat itu nggak ada. Untuk menunjukkan empat, kita pakai 10 (<- bacanya “satu nol” ya, bukan “sepuluh”). So, urutan bilangannya jadi gini:

[0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13,…]

Setelah 13, berikutnya apa lagi?

Yup, bukan 14 yah, tapi 20. Jadi berikutnya:

[ …, 13, 20, 21, 22, 23, … ]

Terus, setelah 23? Bukan 24, tapi 30. Jadi berikutnya lagi:

[…, 23, 30, 31, 32, 33, …]

Setelah 33? Yup, berikutnya adalah 100.

[33, 100, 101, 102, 103, 110, 111, …]

Dan seterusnya…

Sebagai catatan aja, 13 itu bacanya “satu tiga”, bukan “tiga belas”. Terus 20 bacanya “dua nol”, bukan “dua puluh”. 100 juga bacanya “satu nol nol”, bukan “seratus”. So… sekarang misalkan kita mau menghitung jumlah pensil pakai basis empat, berarti jadinya begini:

basis-bilangan-pensil

Lucu nggak sih? 🙂

Nah, sampe di sini, lo bisa nyambung kan dengan judul artikel ini!? Yep, 2+2 = 10 pada judul di atas ditulis menggunakan basis empat. Hehee..

Sejarah Bilangan

Sebenernya nggak semua peradaban di dunia pakai sistem basis. Salah satu peradaban yang nggak pakai sistem basis itu peradaban Romawi. Cara mereka menuliskan bilangan itu simpel banget, I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, dan seterusnya. Cara menulis seperti ini gampang banget untuk mencacah, seperti mencacah pensil di atas. Tapi, untuk operasi yang lebih kompleks, pasti ribet banget deh. Coba aja bayangin gimana cara orang Romawi ngaliin XII dengan XVII? Yang pasti nggak pakai perkalian bersusun seperti yang kita pakai sekarang.

Salah satu teknik yang mereka pakai itu adalah tabel kayak gini:

tabel romawi

Cara baca tabel di atas kira-kira gini: Yang warna merah itu bilangan yang dikalikan. Masing-masing elemennya dikalikan jadi yang warna hitam. Misal, X dikali X hasilnya C, X dikali V hasilnya L, dan seterusnya. Terus setelah itu digabungin semua jadi gini:

CLXXXXVVIIII

Terus gabungin V dan V jadi X.

CLXXXXXIIII

Berikutnya LXXXXX itu diubah jadi C. Sehingga jawabannya:

CCIIII

Coba cek pakai bilangan Hindu-Arab, 12 x 17 = 204. Bener kan CCIIII itu 204!

Di sini lo bisa bayangin kalau bilangan Romawi itu gampang untuk pencacahan sederhana. Tapi untuk operasi yang lebih kompleks, susahnya minta ampun. Untuk perkalian sederhana aja ribet. Makanya sistem bilangan itu kita tinggalin dan kita pakai sistem Hindu-Arab yang merupakan sistem basis sepuluh. Jauh lebih gampang untuk berbagai macam operasi.

Peradaban yang sejak awal menggunakan basis sepuluh itu adalah peradaban India dan Tiongkok. Peradaban lainnya nggak pakai sistem basis, kecuali Babilonia. Gue gambarin peta masing-masing peradaban dan sistem bilangan yang mereka gunain nih:

 

peta-sistem-bilangan-berbagai-peradaban-kuno

By the way, sebagai catatan aja, peta di atas tidak menggambarkan secara akurat cakupan wilayah masing-masing peradaban yah. Selama ratusan tahun tiap peradaban tersebut eksis, cakupan wilayahnya tentunya berubah-ubah. Gue hanya melingkari pusatnya saja. Peta di atas disajikan hanya untuk mengilustrasikan pembagian wilayah penggunaan sistem bilangan.

Oiya, Pras juga pernah singgung tentang penggunaan sistem bilangan India-Arab yang menggantikan bilangan Romawi di sini.

Sistem Bilangan Babilonia

Salah satu peradaban yang menurut gue menarik itu peradaban Babilonia. Mereka pakai sistem bilangan basis enam puluh!!! Tapi bukan berarti ada enam puluh simbol. Mereka pakai basis sepuluh dulu, terus ketika sampai enam puluh, mereka ulang lagi simbolnya. Biar kebayang, coba perhatiin ini deh:

Berapa bilangan setelah 59? Gini nih:

basis-60-babilonia

Mirip apa coba? Yoi… mirip sistem jam, menit, dan detik yang kita pakai sekarang ini. Memang sistem pengukuran waktu jam, menit, detik yang kita pake sekarang inspirasinya dari sistem basis enampuluhnya Babilonia, udah dipakai sejak 5000 tahun yang lalu! Tapi dulu simbolnya nggak kayak sekarang. Simbol yang dulu dipakai Babilonia itu gini:

806px-Babylonian_numerals.svg

Image credit: Wikipedia

Basis Dua

Balik lagi ke basis yah. Nah, tadi kita udah coba bikin basis empat. Gimana dengan sistem bilangan basis dua? Sekarang coba lo pikirin sendiri dulu, terus coba tulis sendiri gimana mencacah pensil dengan menggunakan sistem basis dua ini. Bisa? Gue ingetin lagi prinsipnya:

  • Cuma punya dua simbol
  • Nggak ada satu simbol yang mewakili bilangan dua
  • Dua itu gabungan 1 dan 0, jadi 10

Kebayang? Nih hasilnya:

basis-dua-pensil

Seru nggak sih?

Nah… basis dua itu ada nama modernnya: bit. Binary digit. Yup, sistem basis dua ini yang dipakai komputer-komputer yang ada sekarang ini. Kenapa komputer pakai basis dua? Simpel aja, karena komputer cuma bisa tau dua kondisi, yaitu 1 dan 0. Di listriknya, bisa jadi 1 itu adalah kondisi ketika tegangan positif, 0 itu untuk tegangan negatif, gitu. Bisa juga 1 itu kondisi ada arus dan 0 itu kondisi nggak ada arus. Kalau di harddisk, biasanya 1 dan 0 itu simbol untuk arah kutub magnetnya, karena data kita disimpan di harddisk dalam bentuk magnet ini, kutub utara atau selatan.

Nah, sekarang coba kita perhatiin ini deh:

0 basis dua = 0 basis sepuluh
10 basis dua = 2 basis sepuluh
100 basis dua = 4 basis sepuluh
1000 basis dua = 8 basis sepuluh
10000 basis dua = 16 basis sepuluh
100000 basis dua = 32 basis sepuluh
1000000 basis dua = 64 basis sepuluh
10000000 basis dua = 128 basis sepuluh
100000000 basis dua = 256 basis sepuluh
1000000000 basis dua = 512 basis sepuluh
10000000000 basis dua = 1024 basis sepuluh

Itu adalah kelipatan 2 semua. Makanya kalau kita beli harddisk, RAM, atau perangkat komputer lainnya, biasanya bilangannya itu adalah bilangan kelipatan dua seperti di atas.

Kalo lo tertarik masuk jurusan Ilmu Komputer/Teknik Informatika, lo bakal pelajari bilangan basis dua (binary) ini nanti di semester awal perkuliahan lho.

binary

Satuan, Puluhan, Ratusan, ….. pada Berbagai Sistem Bilangan

Pada bilangan basis sepuluh, kita mengenal satuan, puluhan, ratusan, dan seterusnya. Misalnya kita punya 367, itu artinya adalah:

    \[367 = 300 + 60 + 7\]

    \[= 3 \times 100 + 6 \times 10 + 7\]

Nah, pada basis lain seperti basis dua atau basis empat, konsepnya juga sama aja. 10010 pada basis dua misalnya, bisa ditulis begini:

10010_{(2)} = 10000_{(2)} + 10_{(2)} (basis dua)

Jadi ketika kita mau konversi bilangan itu ke basis sepuluh, kita tinggal bikin begini:

    \[10010_{(2)} = 10000_{(2)} + 10_{(2)} = 16 + 2 = 18\]

(tanda kurung (2) itu menunjukkan kalau dia sistem basis dua, kalau nggak ada tanda kurungnya berarti basis sepuluh)

Untuk basis empat, misalnya bilangan 321, gimana konversinya?

321_{(4)} = 300_{(4)} + 20_{(4)} + 1_{(4)} (\leftarrow basis empat)
= 3 \times 100_{(4)} + 2 \times 10_{(4)} + 1_{(4)}
= 3 \times 16 + 2 \times 4 + 1 (\leftarrow basis sepuluh)

    \[= 48 + 8 + 1\]

    \[= 57\]

By the way, trik penting dari konversi di atas adalah lo mengganti 100_{(4)} jadi 16 dan 10_{(4)} jadi 4. Karena 100 di basis empat itu adalah 16 di basis sepuluh, dan 10 di basis empat itu adalah 4 di basis sepuluh.

****

Okay deh. Sekarang, kalau lo mau iseng-iseng ngetes seberapa jauh pengertian lo terhadap bilangan basis ini, coba konversi bilangan basis di bawah ini jadi bilangan basis sepuluh. Tulis di comment yah jawabannya.

231 basis empat = … basis sepuluh
1010110 basis dua = … basis sepuluh
3210023 basis empat = … basis sepuluh
102930 basis duabelas = … basis sepuluh

Terus sekarang coba dibalik (yang ini lebih susah karena belum gue kasih tau triknya, tapi ya boleh dicoba lah):

89 basis sepuluh = … basis empat = … basis dua = … basis duabelas
190 basis sepuluh = … basis empat = … basis dua = … basis duabelas
823 basis sepuluh = … basis empat = … basis dua = … basis duabelas

Selamat mencoba 🙂

 

==========CATATAN EDITOR===========

Kalo ada di antara lo yang mau menjawab tantangan Wisnu, silakan tinggalin jawaban kamu di bawah ya. Kalo kamu mau nanya-nanya lebih lanjut sama Wisnu tentang basis bilangan, langsung aja tinggalin komentar di bawah artikel ini ya.

Tertarik belajar dengan zenius.net? Kamu bisa pesan membership zenius.net di sini.