Teka-teki Matematika - Dua Kereta

Suka teka-teki matematika? Coba pecahkan teka teki tentang dua kereta yang bergerak berhadapan dengan pergerakan burung di antara dua kereta tersebut.

Kali ini, gue mau iseng-iseng bahas satu teka-teki matematika yang umurnya udah lumayan tua juga. Seinget gue, teka-teki ini udah ada sejak ratusan tahun yang lalu. Tapi sayangnya, setelah gue googling-googling, gue belum ketemu juga siapa yang pertama kali bikin ini. Langsung aja, teka-tekinya gini.

"Ada dua kereta, berjarak 800 meter satu sama lain saling berhadapan. Masing-masing bergerak dengan kelajuan 10m/s. Di depan kereta yang pertama, ada burung yang bergerak dengan kelajuan 20m/s menuju kereta yang ke dua. Ketika burung tersebut sampai di kereta yang ke dua, dia langsung berbalik arah seketika lalu bergerak dengan kelajuan 20m/s lagi menuju kereta yang pertama. Ketika sampai di kereta yang pertama, dia langsung berbalik arah seketika lagi lalu bergerak dengan kelajuan 20m/s lagi menuju kereta yang ke dua. Dan seterusnya sampai kedua kereta tersebut bertabrakan."

Biar lebih jelas, lihat animasinya di bawah ini deh..

burung-kereta-tabrakan

Jarak kedua kereta = 800m
Kelajuan Kereta A = 10 m/s
Kelajuan Kereta B = 10 m/s
Kelajuan Burung = 20 m/s

 

Pertanyaannya: Berapa Jarak Yang ditempuh oleh burung?

 

[NOTE: SEPERTI BIASA, KALAU ADA SOAL-SOAL BEGINI, JANGAN LANGSUNG LIHAT JAWABANNYA, TAPI COBA LO PIKIRIN BENER-BENER DULU GIMANA CARA NGERJAINNYA]

stop

Udah dicoba? Oke, kebayang nggak sih lo ngerjainnya gimana?

Ada beberapa macam cara ngelihat soal ini nih sebenernya. Waktu gue masih SMA, gue inget banget ngelihat soal ini pas lagi belajar deret. Terus gue coba kerjain aja pakai konsep deret geometri tak hingga.

Loh kok pakai deret geometri tak hingga? Kenapa?

 

Nah, ini salah satu kerennya deret tak hingga. Kebayang nggak sih lo kalau ada suatu barisan yang sukunya tak hingga, tapi jumlah semua sukunya berhingga. Sekarang coba lihat lagi lintasan burung tadi. Perhatiin bahwa:

  1. Si burung akan bolak-balik dari kereta 1 dan kereta 2 sebanyak tak hingga kali
  2. Total lintasan burung itu berhingga

So, ini contoh yang pas banget untuk soal deret tak hingga. Nanti kita juga bisa ngelihat kalau jarak tempuh burung itu pada tiap lintasan itu merupakan barisan Geometri.

Sekarang kita lihat gambar lintasan burungnya dulu….

burung-kereta-hitung

Dari gambar ini, kelihatan kalau jarak yang ditempuh burung tiap lintasan itu begini:

1. Lintasan Pertama

Jarak yang ditempuh Burung pada lintasan pertama:

 U_1 = \frac{2}{3} \times 800

 

2. Lintasan Ke dua

Jarak yang ditempuh Burung pada lintasan ke dua:

 U_2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times 800

 

3. Lintasan Ketiga

Jarak yang ditempuh Burung pada lintasan ke tiga

 U_3 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times 800

 

... dan seterusnya sampai tak hingga

Nah, kelihatan banget kan kalau ini sebenernya adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama  a = U_1 = \frac{2}{3} \times 800 dan rasio  r = \frac{1}{3} . Berarti kalau gitu menghitung jumlah seluruh lintasan gimana? Tinggal dijumlahin aja kan semuanya. Gini:

 S_{\infty} = \frac{a}{1-r}

 S_{\infty} = \frac{\frac{2}{3} \times 800}{1-\frac{1}{3}}

 S_{\infty} = \frac{\frac{2}{3} \times 800}{\frac{2}{3}} = 800m

Done!!! Ternyata jawabannya 800 meter!

f_31706c4d91

Waktu SMA sih, gue lumayan puas setelah berhasil menghitung ini, terus gue lanjut ngerjain yang lain. Tapi, gue inget pas kuliah tingkat-tingkat awal, somehow gue ketemu lagi sama problem ini, terus baru ngeh kalo ada solusi yang jauh lebih simple.

 

Cara yang lebih simple

Kepikiran nggak sih kalau sebenernya waktu tempuh burung itu kan sama dengan waktu tempuh kedua kereta. Waktu yang dibutuhkan kedua kereta untuk bertabrakan bisa dihitung:

 t = \frac{jarak total}{v_1 + v_2} = \frac{800}{10+10} = 40 detik

Kalau gitu jarak yang ditempuh burung tinggal langsung dihitung aja

 d = v_{burung} \times t = 20 \times 40 = 800 m

Selesai… Ketika gue nemuin cara ini, gue inget rada ngedumel dalam hati, “Sial cuma gini doang!”. Hahaha…

 

Jebakan matematika

Soal matematika emang kadang bisa bikin geretan kayak tadi sih. Udah nyari susah-susah, eh ternyata baru sadar setelah itu kalau ada cara yang lebih simple, dan kadang lebih elegan. Tapi lo jangan nganggap bahwa ngerjain soal dengan cara yang panjang itu jelek juga. Justru seringnya kita memang perlu melalui proses ngerjain soal dengan cara kayak gitu dulu sebelum akhirnya ketemu cara yang lebih elegan. Belajar dengan cara kayak gitu sama sekali nggak ada salahnya. Itu masih jauh lebih baik dibanding belum apa-apa udah nyerah duluan, terus malah nggak nyobain sama sekali. Iya nggak sih?

Bahkan konon katanya John von Neumann (1903-1957) pernah dites sama soal ini terus dia jawab cepet banget. Orang yang nanya langsung ngerespon, "Oh, you must have heard the trick before!". Terus Neumann bales, "What trick? All I did was sum the infinite series." Hehe… Bahkan, orang sejago Neumann aja ngerjainnya pakai deret geometri tak hingga kok.

 

Kalau Matematika SBMPTN atau ujian lainnya gimana? Kan itu harus cepet ngerjainnya

Nah, ini emang bener. Lo emang harus ngerjain SBMPTN atau soal ujian lain dengan waktu yang terbatas. Tapi justru itu ketika lo belajar (sebelum ujian), lo harus berusaha keras ngerjain berbagai soal. Nggak apa-apa kalau lo awalnya ngerjain dengan cara yang panjang. Berikutnya lo tonton pembahasan di zenius supaya ngerti konsepnya. Semakin lo terbiasa nerapin dari konsep ke aplikasi, lo akan semakin inget sama konsep dasarnya, dan semakin mahir pula untuk nerapin konsep dasar itu ke berbagai aplikasi yang mungkin. Nanti soal-soal yang dulunya lo anggap susah, lama-lama dikedipin aja selesai.

 

Barisan dan deret

Balik lagi ke Barisan dan Deret. Di awal, gue nunjukin kalau soal ini bisa dikerjain dengan konsep deret geometri tak hingga. Kalau lo ngerasa belum ngerti tentang konsep barisan dan deret ini, lo bisa tonton video di zenius.net tentang barisan dan deret, di sini: Barisan dan Deret

 

***

Okay, sekian teka-teki matematika dari gue. Coba aja lo iseng-iseng tantangin teka-teki ini ke temen-temen lo, terus lo jelasin ke mereka gimana cara lo ngerjainnya. Minimal pakai dua cara di atas ya! 🙂 Bahkan kalau perlu lo diskusiin ini juga sama guru lo. Okay, deh... gitu aja... We'll come back with more puzzles for you next time!

 

[Catatan Editor : Btw kalo lo punya teka-teki matematika yang lo tau, boleh nih lo share ke kita dengan tulis teka-tekinya di comment bawah, biar nanti kita coba bahas dan ulik bareng-bareng . Kalo lo mau ngobrol langsung sama Wisnu, bisa langsung tinggalin comment  di bawah artikel ini aja.  Pastiin juga lo dapetin voucher zenius.net buat bisa akses seluruh video materi dan pembahasan soal UN Matematika maupun soal dan pembahasan SBMPTN tahun-tahun lalu]

Tertarik belajar dengan zenius.net? Kamu bisa pesan vouchernya di sini.

  • anonim

    njir, gue ketemunya pake cara deret haha :))

  • Dhawy Farras Putra

    Gw ngerjainnya pake konsep GLB, jaraknya disamain ketika waktunya sama. Ternyata setelah dapet 2 data, kebaca polanya deret geo. Keren juga nih !

  • Hendra Bani

    apa cuma gue disini yang ngakak gara-gara burungnya ditabrak sama 2 kereta? :v

  • Hendra Bani

    eh bang gue request dong tentang fisika optik.. suer gue sekarang baru tau fisika optik itu bener2 keren banget! bikin tulisan yang seru yah bang tentang fisika optik hehehe

    • Fisika Optik? Okay okay... nanti kalau kepikiran sesuatu yang seru dari Fisika Optik gue tulis deh. Thanks yah.

  • Yusuf Effendy

    Gue ketemu pake cara simple. itu bisa 2/3 darimana bang?

    • Hebat lu kalau langsung bisa kepikiran cara yang simple. Hehe... 2/3 karena burung bergerak 2 kali lebih cepat dibanding kereta. Si kereta bergerak 1 bagian, sementara burung 2 bagian.

    • febosa

      cara simplenya kek gimana?

  • Barby

    bang gue ketemunya dengan cara dikali silang 😀

    • Dikali silang gimana? Coba kalau angkanya diganti. Misal, laju kereta A = 10 m/s, laju kereta B = 30 m/s, terus laju burung 60 m/s. Jarak tetep 800m. Bisa nggak pakai kali silang?

      • Barby

        bisa sih. jawabannya 1200m bang
        benar gak?

        • Iya bener. Yang lo kaliin silang apanya btw?

          • Barby

            yee 😀
            jarak total/v1+v2 = x/v3 dah gitu gue kali silang bg
            (x=jarak burung)

          • Oh.. iya cara yang simple konsepnya sama. Lo bisa kasih tanda "=" itu kan karena waktu tempuh kedua kereta = waktu tempuh burung.

            t kereta = t burung
            jaraktotal/(v1+v2) = x/v3

            Nice 🙂

  • Hafidz Permana

    misal yang ditanya berapa kali burung mondar mandir diantara kereta 1 dan 2 gimana cara jwabnya?

    • putra

      tak hingga vrooh

    • Udah dijawab bener sama putra. Burungnya bolak-balik tak hingga kali. Kebayang nggak kenapa bisa tak hingga?

      • Hafidz Permana

        sementara blm hehe, gambaran gue klo bolak balik tak hingga brti jaraknya jd tambah banya smpai tak hingga (-.-

        • Kuncinya ada pas nentuin panjang lintasan burung sih. Panjang lintasan pertama kan U1 = 2/3 x 800. Terus eh ternyata panjang lintasan ke dua U2 = 1/3 x 2/3 x 800. Kalau gitu panjang lintasan ke tiga berapa? U3 = 1/3 x 1/3 x 2/3 x 800. Dan seterusnya.

          Dari sini kelihatan kalau U2 = 1/3 x U1. Terus juga U3 = 1/3 x U2. Dan seterusnya. Artinya panjang lintasannya berkurang terus sebesar 1/3. Nah, berarti dia deret geometri dengan rasio 1/3.

          Kalau gitu, pada saat n berapa yang membuat panjang lintasannya nol? Un = 0 baru tercapai kalau n-nya mencapai tak hingga.

  • ismail

    Memang yg suka matematika akan asyik sendiri jadinya, ya...
    Apa saya bisa dpt kan teka-teki matematika yg lebih banyak sbg sarana memancing minat siswa2 saya di SD...?
    Kalau ada...., bisa gak saya peroleh...?
    Soalnya dulu pernah dpt dalam bentuk buku saku. Dipinjma teman, malah hilang

  • Luthfan togar(UI dan UNDIP,UIN

    Bang tolong bantu ane ya,tolong banget ane masih susah ngerjain SAINTEK nih,di zenius ini,soal soal SAINTEK di kasih konsep dan review teorinya ga,dan yang sangat penting adalah trik cepatnya bang,dan kalo nanti angkanya diganti trik tersebut bisa dipakai kembali dengan tipe soal yang sama,bisa ga ya ?
    Zenius tuh lebih enak ngajarnya dari pada guru,kata teman-temen ane,hehe..

    • Konsep dan review teori apa yang lo cari? Matematika, Fisika, Kimia, Biologi, semua ada sih di zenius.net (klik aja linknya). Tapi kalau trik cepat, sorry. Zenius nggak pernah ngasih trik cepat. Karena jauh lebih penting untuk ngerti konsep dari pada lo ngafalin ribuan trik cepat tapi nggak ngerti sama sekali konsepnya.

      • Luthfan togar

        Oh iya ya bang,yang penting konsep,kalo kita udah ngerti konsep dan udah terbiasa lama lama malah jadi cepat ya ngerjain tanpa butuh trik cepat

        Anda super bang.hehe

  • ~A M N~

    Wesh.. Gw jg langsung jawab dgn cara simple., Hohooo..

  • Darien Theodric

    gw ga ngeh pake deret geometri, malah gw mikir kereta nabrak pas 40 sekon, ya berarti burungnya cman bolak balik nempuh lintasan kedua kereta aja krn stelah 40 sekon kan burung brenti gerak. 20kali 40 sec deh 😀

  • Ikhsan Ramadhani

    Gw Nebak doang 800m, eh bener -___-

  • Guest

    Gue malah enggak kepikiran itu deret geo ... err ....
    Cuma kalau dipikir "serampangan" pake imajinasi sih, langsung dapet 800m.
    eh ternyata benar, pff....

  • Dimas Torsa

    liat animasi baru ngeh
    gue nebaknya malah, jarak burung nabrak ke kereta ke-2 kan butuh 20 detik jadinya, ke-1=400m, ke2=200, ke3=100 , ke4=50, gue kira sekitar 750an m haha,
    ga kepikir 1/3 atau 2/3 bagiannya apalagi deret, keren ni ka wisnu

  • Sulastin Akhodiah

    kak, caranya biar bisa paham sama rumus2 gitu gimana?
    aku sering bingung kalo ketemu soal yg udah di variasi2 gitu

  • @Robyemerje

    mantappp 😀 sempet ngerjain pake GLBB juga wkwk

  • Iqbal Dima Naufal

    wah ane ketemu nih min jawabannya 800 sama haha. pake konsep deret geometri takhingga dapet dah, keren min soalnya

  • Rizaldy Al Kautsar U

    Pas liat animasi langsung kebayang deret, gara2 liat bolak-balik yang harmonis

    tapi pas ditelaah kayaknya sama jaraknya dan waktu tempuhnya jadi gue tebak 800m (untung ada gifnya jadi kebayang)

    ternyata bener hahaha

  • alif

    hahaha untuk jawabanya benar pas banget

  • ilham feryanto

    gue malah ga kepikir kalo pake deret geometri. gue langsung mikir aja dan dapet jawabannya 800 m eh ternyata beneran 800 m.. kaget gue ternyata jawabannya bener, somplak.. somplak