Pertanyaan yang Mungkin Tidak Kamu Pikirkan Saat Belajar Induksi Matematika

Mungkin karena terlalu sibuk mengerjakan soal dan memperhatikan materi, kamu jadi lupa menanyakan sesuatu yang sebenarnya sangatlah menarik untuk dibahas dari materi Induksi Matematika ♥ 

Sebelumnya, di blog zenius.net memang sudah dibahas penjelasan terkait materi Induksi Matematika. Lo bisa buka di link berikut: apa itu induksi matematika?  

Di sana dijelasin bahwa induksi matematika itu adalah salah satu cara pembuktian rumus atau pernyataan matematika, atau lebih tepatnya metode pembuktian terhadap suatu pernyataan apakah pernyataan tersebut berlaku untuk setiap kasus. Satu hal lagi yang harus lo tau, bahwa induksi matematika itu hanya bisa digunakan untuk setiap model matematika berupa persamaan atau pertidaksamaan yang variabel acaknya merupakan bilangan asli. Inget ya, Bilangan Asli. Artinya, lo gak bisa pake Induksi Matematika pada model matematika baik berupa persamaan atau pertidaksamaan yang variabel acaknya BUKAN bilangan asli.

Buat lo yang sudah pernah belajar Induksi Matematika, pasti sudah familiar banget sama 2 langkah Induksi Matematika.

  1. Buktikan bahwa model matematika tersebut benar untuk n=1.
  2. Buktikan bahwa jika rumus tersebut benar untuk n=k, maka rumus tersebut juga benar untuk n=k+1.

Nah, dari pengalaman gue sendiri selama ngajar materi Induksi Matematika di kelas, gue nemuin banyak banget pertanyaan yang mungkin dianggap “nyeleneh” sama kebanyakan siswa lainya, tapi sebenernya buat gue, pertanyaan-pertanyaan itu adalah “pertanyaan emas” yang berharga banget dalam upaya memahami konsep induksi matematika itu sendiri. Di sini gue bakal share pertanyaan-pertanyaan emas yang gue sebutkan tadi.

Pertama:

Kenapa harus dimulai dari n=1? Bisa gak kita lakukan induksi matematika dari n=2 atau n=3?

Ke dua:

Esensi langkah ke dua itu apa? Kenapa variabel n yang diganti variabel k selalu dianggap benar?

Ke tiga:

Kenapa induksi matematika selalu diakhiri dengan n=k+1? Bisa gak diganti sama n=k+2 atau n=2k-1 dan nilai n lainya?

Nah, sekarang gue coba jelasin satu per satu ya, dimulai dari pertanyaan pertama.

“Kenapa harus dimulai dari n=1? Bisa gak kita lakukan induksi matematika dari n=2 atau n=3?”

Kenapa harus dimulai dari n=1? Untuk menjawab pertanyaan ini, sebelumnya gue pengen lu paham dulu tentang efek domino yang dihasilkan oleh induksi matematika yang nantinya bisa  ngebuktiin bahwa suatu model matematika bernilai benar untuk semua n. Baca: mengenal induksi matematika. Nah kalau lo mulai dari n=20 (misalnya) itu tandanya efek domino yang lu dapet cuma dari n=20 dan seterusnya aja. Jadi pembuktian lo belum cukup. Lo masih harus buktiin lagi untuk   n=1 sampai n=19. Begitu juga kalau lu mulai dari n=5, ya itu artinya lo harus buktiin lagi bahwa model matematika itu bernilai benar untuk n=1 sampai n=4. Satu lagi yang harus lo sadari, bahwa menghitung dengan mensubsitusikan n=1 itu jauh lebih gampang ketimbang harus mensubsitusikan n=20 atau nilai n yang lebih besar.

Contoh: 3+7+11+15+… = 2n² + n

Lo bakal jauh lebih gampang ngitung 2(1)² + (1) ketimbang ngitung 2(20)² + 20.

“Esensi langkah ke dua itu apa? Kenapa variabel n yang diganti variabel k selalu dianggap benar?”

Untuk ngejawab pertanyaan ini, kita harus pahami dulu kalo induksi matematika itu bisa dipake untuk membuktikan model matematika yang variabelnya adalah bilangan asli. Jadi variabel apapun yang pengen lo pake untuk disubsitusi ke variabel n, bakal jadi sah-sah aja asalkan didefinisikan dulu di awal. 

Contoh: 3+7+11+15+… = 2n² + n 

Ambil sebarang k, dengan kbilangan asli, sehingga 2k² + k bernilai benar.

Ambil sebarang b, dengan bbilangan asli, sehingga 2b² + b bernilai benar.

Intinya ya ada di kalimat ini: “Ambil sebarang b, dengan b bilangan asli”. Karena sudah didefinisikan bahwa b adalah bilangan asli, ya pasti bernilai benar, tapi bakal bernilai tidak benar kalo lo definisikan b bilangan real, irasional, atau bahkan imajener. Pertanyaan kayak gini sering banget muncul karena beberapa sumber belajar emang jarang banget yang ngejelasin terkait mendefinisikan variabel pengganti sebagai bilangan asli.

“Kenapa induksi matematika selalu diakhiri dengan n=k+1? Bisa gak diganti sama n=k+2 atau n=2k-1 dan lain-lain?”

Di artikel induksi matematika sebelumnya sebenernya udah dijelasin lengkap banget terkait gimana dengan n=k+1 lo bisa ngedapetin efek domino pada induksi matematika. Di langkah pertama kan lo udah ngebuktiin bahwa n=1 bernilai benar. Lo juga udah nunjukin bahwa k itu adalah sebarang bilangan asli, jadi untuk n=k+1 bernilai benar. Nah karena kita sudah definisikan kbilangan asli, artinya:

n=1 bernilai benar.

k=1 🡪 n=(1)+1 🡪 n=2 bernilai benar.

k=2 🡪 n=(2)+1 🡪 n=3 bernilai benar.

k=3 🡪 n=(3)+1 🡪 n=4 bernilai benar.

k=4 🡪 n=(4)+1 🡪 n=5 bernilai benar. Dan seterusnya.

Inilah yang gue sebut sebagai efek domino, karena dengan n=k+1, kita bisa sampai di kesimpulan bahwa model matematika tersebut bernilai benar untuk semua nilai n.

Terus, apa yang terjadi kalo lo pake n=k+2? Begini penjelasanya:

n=1 bernilai benar.

k=1 🡪 n=(1)+2 🡪 n=3 bernilai benar.

k=2 🡪 n=(2)+2 🡪 n=4 bernilai benar.

k=3 🡪 n=(3)+2 🡪 n=5 bernilai benar.

k=4 🡪 n=(4)+2 🡪 n=6 bernilai benar. Dan seterusnya sehingga untuk membuktikan bahwa model matematika itu bernilai benar untuk setiap nilai n, lo masih harus mensubsitusikan nilai n=2.

Contoh lainya, gimana kalo lo pake nilai n=2k-1? Hasilnya adalah:

n=1 bernilai benar.

k=1 🡪 n=2(1)-1 🡪 n=1 bernilai benar.

k=2 🡪 n=2(2)-1 🡪 n=3 bernilai benar.

k=3 🡪 n=2(3)-1 🡪 n=5 bernilai benar.

k=4 🡪 n=2(4)-1 🡪 n=7 bernilai benar. Dan seterusnya.

Di sini, kita dapat kesimpulan bahwa model matematika tersebut bernilai benar hanya untuk n ∈  bilangan ganjil.

Biar lebih paham, coba lo perhatiin contoh soal berikut ini:

Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 4 berlaku (n + 1)! >

Cara jawabnya gue coba paparkan seperti ini ya:

Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 4, n  NN

Langkah Pertama:

Di tahap ini kita gak harus subsitusiin nilai n=1, karena soalnya minta kita ngebuktiin

bernilai benar untuk setiap bilangan asli n ≥ 4. Karena n didefinisikan sebagai bilangan asli, jelas kita bisa pake pembuktian induksi matematika dengan langkah awal mensubsitusikan nilai n=4.

Akan dibuktikan bahwa P(4) bernilai benar



Jadi, P(4) bernilai benar dong.

Karena P(4) benar, artinya lo bisa lanjutkan ke langkah selanjutnya.

Langkah selanjutnya:

Ambil sebarang k bilangan asli. Karena k dan n sama-sama bilangan asli, lo bisa subsitusiin nilai k ke variabel n, sehingga berlaku:

Nah, selanjutnya bakal ditunjukin kalo P(k + 1) juga benar, yaitu 

Cara jawabnya kayak gini:

(k + 1 + 1)! = (k + 2)!

(k + 1 + 1)! = (k + 2)(k + 1)!

  (karena )

  (karena k + 2 > 3)

(Ini pake sifat eksponen ya)

Jadi, jelas terbukti dong, bahwa P(k + 1) juga benar.

Berdasarkan prinsip induksi matematika yang tadi kita sebut-sebut sebagai efek domino, terbukti lah bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 4.

Jadi kesimpulanya, tahapan induksi matematika dengan mensubsitusi nilai n=1, n=k, dan n=k+1 itu gak saklek. Semua tergantung sama apa yang diminta soal. Dengan pemahaman konsep yang dalam terkait materi ini, gue yakin banget apapun yang diminta sama soal, lo pasti bisa ngebuktiin pake Induksi Matematika.

==========CATATAN EDITOR===========

Ada banyak hal yang bisa dikaji secara lebih mendalam dari setiap materi yang kita pelajari di kelas. Misalkan salah satunya ya sebagaimana dijabarkan di atas ini bagaimana induksi matematika dapat bekerja. Ada misteri atau hal yang membuatmu penasaran dari matematika? Tanyakan di kolom komentar saja.

Kamu juga bisa mempelajari lebih lanjut mengenai induksi matematika melalui video pembahasan dari Zenius

Dasar-dasar induksi matematika
Teori induksi matematika
Contoh latihan soal induksi matematika

Dapatkan pengalaman belajar yang semakin seru dan bikin ketagihan dengan Zenius!

Download Zenius App di sini