Artikel ini membahas cara mencari nilai limit dan rumus cepat limit menuju tak hingga. Penjelasan definisi dan teorema limit lengkap dengan contoh soal & pembahasan.

Pada dasarnya limit digunakan untuk menyatakan sesuatu yang yang nilainya mendekati nilai tertentu, seperti tak hingga yang pada dasarnya adalah angka yang sangat besar yang nilainya tidak dapat dipastikan. Limit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Jika suatu fungsi tidak terdefinisi untuk titik tertentu, tetapi kita masih bisa mencari nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu makin didekati yaitu dengan limit.

Yuk, kita pelajari limit fungsi aljabar bersama, supaya pemahaman mengenai limit akan lebih mendalam.

Pengertian Limit

Limit f(x) mendekati c sama dengan L, ditulis:

$\lim_{x\rightarrow c}{f(x)}=L$
jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c tetapi x≠c, f(x) mendekati L.

Sifat Limit Fungsi

Jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g ialah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka berlaku teorema-teorema berikut.

$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}k=k\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}x=c\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}kf(x)=k\lim_{x\rightarrow c}f(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)+g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x)+ \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)-g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x)- \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)\times g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x) \times \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow c}{}f(x)}{\lim_{x\rightarrow c}g(x)} \hspace{0.1cm} dengan \lim_{x\rightarrow c}g(x) \neq 0 \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}[f(x)]^n=[\lim_{x\rightarrow c}f(x)]^n \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}\sqrt[n]{f(x)}= \sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow c}f(x)} \hspace{0.1cm} dengan \lim_{x\rightarrow c}f(x) \geq 0 \end{align*}$

Mencari Nilai Limit

Metode substitusi

Metode ini dilakukan dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x).

Contoh Soal:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{2}x+4 &=\frac{1}{2} \times 2+4\\ &=1 + 4\\ &=5 \end{align*}$

Metode pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

$\infty,\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}, 0 \times \infty,\infty-\infty, 0^{0},\infty^0, atau \infty^\infty$

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-9}{x-3}&=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}(x+3)\\ &=2+3\\ &=5 \end{align*}$

Metode mengalikan dengan faktor sekawan

Jika pada metode substitusi menghasilkan nilai limit yang irasional, maka fungsi dikalikan dengan akar sekawannya, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-7}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-7}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{7}}{\sqrt{x}+\sqrt{7}}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-7)(\sqrt{x}+\sqrt{7})}{x-7}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}(\sqrt{x}+\sqrt{7})\\ &=\sqrt{7}+\sqrt{7}\\ &=2\sqrt{7} \end{align*}$

Limit Tak Hingga

Untuk menyelesaikan limit tak hingga dari suatu fungsi aljabar, terdapat dua cara yang umum digunakan, yaitu:

Contoh Soal:

$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{4x^3-3x^2+2x-1}{5x^3+14x^x-7x+2}=\frac{4}{5} \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^3+2x}{x^2+1}=\infty \end{align*}$

Contoh Soal:

$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+2x}=\frac{1-2}{2\sqrt{1}}=-\frac{1}{2} \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{2x^2-x+5}-\sqrt{4x^3-1}=-\infty \end{align*}$

Nah, sudah paham kan materi limit fungsi? Selanjutnya, kita kasih latihan soal biar semakin paham sama limit fungsi. Download soal nya di sini

Segini aja pembahasan tentang bagaimana cara mencari nilai limit dan yang menuju tak hingga. Penjelasan definisi dan teorema limit lengkap dengan contoh soal & pembahasan. Semoga artikel ini bermanfaat dan menambah wawasan kamu.

***

Biar makin ngerti tentang limit fungsi, jangan lupa buat banyak-banyak latihan biar lancar. Berikut kita kasih video materi dan latihan soal beserta pembahasannya yang asyik banget.

https://www.zenius.net/c/2386/pengertian-limit-teori

https://www.zenius.net/c/2387/mencari-nilai-limit-teori

https://www.zenius.net/c/5950/limit-fungsi-aljabar-latihan-soal

https://www.zenius.net/c/2392/mencari-nilai-limit-latihan-soal

https://www.zenius.net/c/2388/limit-trigonometri-dan-limit-fungsi-khusus-teori

https://www.zenius.net/c/2393/limit-trigonometri-dan-limit-fungsi-khusus-latihan-soal

https://www.zenius.net/c/6155/limit-fungsi-trigonometri-latihan-soal-tambahan

==========CATATAN EDITOR===========

Kalau kamu punya pertanyaan seputar mata pelajaran matematika, jangan ragu untuk bertanya langsung ke Bella. Bella akan dengan sangat senang hati membaca semua pertanyaan kalian. Sampai jumpa di kolom komentar, yaa. Ciao.

Dapatkan pengalaman belajar yang semakin seru dan bikin ketagihan dengan Zenius!

Materi Lengkap Limit, Fungsi Aljabar, Beserta Limit Menuju Tak Hingga

Pengertian Limit

Sifat Limit Fungsi

Mencari Nilai Limit

Limit Tak Hingga

==========CATATAN EDITOR===========

Download Zenius App di sini

Author: Bella Octavia