Penerapan Matematika dalam Hukum Hereditas Mendel

Kata siapa Biologi ga ada hubungannya dengan matematika? Dalam hukum hereditas Mendel, justru kita bisa lebih mantap memahaminya jika menguasai matematika.

Beberapa waktu yang lalu, ketika gue sedang menjelaskan ke murid-murid di kelas bahwa ilmu yang didapat di sekolah itu saling berhubungan, ada yang nyeletuk gini:

 “Kalau lu bisa nunjukin hubungannya Biologi sama Matematika, lu gue traktir deh, Nu.”

Biologi itu sering banget dipersepsikan sebagai hafalan. Mungkin karena kebanyakan anak belajarnya dengan cara begitu, dan nggak sedikit juga guru di sekolah yang mengajarkan dengan cara menghafal. Sebaliknya, pelajaran matematika selalu dianggap pelajaran yang perlu kemampuan analisis dan jauh dari hafalan.

Ketika gue bilang bahwa matematika dan fisika itu berhubungan, nggak ada yang heran. Ketika gue bilang fisika dan kimia itu berhubungan, nggak ada yang heran juga. Tapi matematika dan biologi? Masa sih ada hubungannya?

Nah, di tulisan gue kali ini, gue mau kasih salah satu contoh bahwa pemahaman lu di matematika itu bisa membantu lu memahami biologi dengan lebih baik. Bahkan, kalau lu nggak paham dasar matematika, bisa-bisa lu salah memahami konsep yang lu pelajari di biologi. Penasaran? Yuk, lanjut baca tulisannya ya.

Persoalan Hereditas

Gue yakin lu masih ingat pelajaran genetika yang pernah dipelajari waktu SMP. Nah, untuk memastikan apakah lu bener-bener mengerti dengan materi yang dipelajari waktu SMP itu, gue mau kasih soal nih.

Bayangkan bahwa lu lagi iseng-iseng mengawinkan dua kacang polong yang masing-masing memiliki gen tinggi heterozigot (Tt). Pada kacang polong, kita mengetahui bahwa gen tinggi (T) adalah gen yang dominan terhadap gen pendek (t). Anggaplah lo berhasil membiakkan 4 kacang polong yang merupakan keturunan dari dua kacang polong yang lo kawinkan tadi. Kira-kira, di antara berbagai pilihan di bawah ini, manakah yang mungkin terjadi?

  • (A) Semua keturunannya adalah tinggi.
  • (B) Keturunannya adalah 1 tinggi dan 3 pendek.
  • (C) Keturunannya adalah 3 tinggi dan 1 pendek.
  • (D) Ketiganya mungkin.

Sebelum lu melanjutkan membaca, gue sangat menyarankan elu untuk coba jawab dulu pertanyaan di atas.

Okay, kalau udah dijawab, gue mau lanjut ke pertanyaan yang selanjutnya. Kali ini pertanyaannya relatif lebih mudah.

Kita tahu bahwa cowok itu gen kromosomnya xy sementara cewek itu gen kromosomnya adalah xx. Bayangkan bahwa ada kerabat lu yang menikah (cewek dan cowok), kemudian mereka memiliki 2 anak. Kira-kira, di antara pilihan di bawah ini, manakah yang mungkin terjadi?

  • (A) Semua keturunannya adalah cowok.
  • (B) Keturunannya adalah 1 cowok dan 1 cewek.
  • (C) Semua keturunannya adalah cewek.
  • (D) Ketiganya mungkin.
Klik di sini untuk melihat jawabannya.

Jawaban soal pertama: D (ketiganya mungkin). Jawaban soal kedua: D (ketiganya mungkin).

 

Ketika gue posting pertanyaan ini di Twitter, ternyata sebaran jawabannya seperti ini:

Polling Twitter Wisnu
Ternyata banyak yang kejebak ya sama pertanyaannya. Mungkin karena mikirin bahwa perbandingan fenotipenya adalah 3:1, maka banyak yang kejebak untuk jawab C, 3 tinggi 1 pendek. Padahal, perbandingan fenotipe dalam bab hereditas itu BUKAN berarti keturunannya PASTI akan mendapatkan ciri-ciri fenotipe sesuai dengan perbandingan tersebut. Lho kok bisa begitu? Yuk kita coba review sedikit konsep dari hereditas.

Review sedikit tentang perbandingan genetik dan fenotipe

Ketika kita menyilangkan dua kacang polong tinggi heterozigot, maka hasil persilangannya dapat dilihat dalam tabel berikut ini:

Tt >< Tt

Sehingga kita mendapatkan perbandingannya demikian.

Ini adalah perbandingan genetik dari keturunan yang bisa dihasilkan. Sementara untuk perbandingan fenotipenya, kita tinggal gabungkan dua gen yang menghasilkan fenotipe yang sama, yaitu TT dan Tt. Kedua gen ini sama-sama menghasilkan fenotipe tinggi. Sementara gen tt menghasilkan fenotipe pendek. Sehingga kita mendapatkan perbandingannya demikian.

Tinggi : Pendek = 3:1

Nah, tapi apakah ini berarti bahwa semua keturunannya PASTI memiliki perbandingan 3:1? Pada kenyataannya nggak akan selalu seperti itu. Kenapa? Karena perbandingan ini harus lu pandang sebagai perbandingan peluang, bukanlah sesuatu yang pasti. Jadi untuk kasus kacang polong, akan lebih akurat jika statement-nya seperti ini:

  • Peluang untuk menghasilkan keturunan yang tinggi adalah ¾
  • Peluang untuk menghasilkan keturunan yang pendek adalah ¼

Begitu juga dengan soal yang kedua. Kalau kita analisis perbandingan antara anak cewek (xx) dan cowok (xy), maka kita akan mendapatkan bahwa perbandingannya 1:1 alias 50% cowok, 50% cewek. Tapi bukan berarti kalau punya dua anak, pasti 1 cewek dan 1 cowok. Bukan berarti juga jika orang punya 4 anak berarti pasti anaknya 2 cewek, 2 cowok kan? Nah, untuk kasus jenis kelamin manusia yang diturunkan sesuai tipe kromosomnya, akan lebih tepat untuk dibaca begini:

  • Peluang untuk menghasilkan anak cewek adalah ½
  • Peluang untuk menghasilkan anak cowok adalah ½

Nah sampai di sini, mungkin lo berpikir kenapa ya hereditas ini bisa nyambung ke konsep peluang dalam matematika? Ingat, pada kenyataannya secara empiris, apa sih proses yang terjadi sehingga seorang ibu bisa memiliki anak dengan jenis kelamin laki-laki atau perempuan?

Dalam proses pembuahan manusia, setiap 1 ml semen hasil ejakulasi pria, bisa mengandung 100 juta sel sperma untuk membuahi sel telur wanita. Nah bayangkan pada proses pembuahan, ratusan juta sel sperma tersebut masing-masing membawa kromosom x atau y. Secara matematis, ratusan juta sel sperma tersebut memiliki peluang untuk dapat membuahi sel telur yang mengandung kromosom x. Jika yang berhasil membuahi adalah sel sperma yang membawa kromosom x berarti anaknya akan terlahir dengan jenis kelamin perempuan (xx), jika yang membuahi adalah sel sperma yang membawa kromosom y, berarti anaknya akan terlahir dengan jenis kelamin laki-laki (xy). (catatan: konsep laki-laki dan perempuan sebenarnya lebih kompleks dari sekedar kromosom xy dan xx. Tapi untuk penjelasan kali ini, konsepnya sengaja gue sederhanakan untuk memudahkan pemahaman lu terhadap konsep peluang dan rasio genetika.)

Sampai di sini, paham ya konteksnya kenapa hereditas ini bisa nyambung banget dengan konsep peluang dalam matematika?

 

Konsep Frekuensi Harapan

Dalam matematika, hal di atas itu bisa lo pelajari dalam konsep Frekuensi Harapan. Sama seperti pada saat lu melempar koin misalnya, terdapat 2 kemungkinan lu mendapatkan sisi gambar atau sisi angka. Pada setiap lemparan koin, peluang lu untuk mendapatkan angka adalah ½ sementara peluang lu untuk mendapatkan gambar juga ½.

Sekarang apa yang terjadi jika lu melempar sebanyak 2 kali. Apakah lu pasti mendapatkan 1 angka dan 1 gambar? Enggak kan. Justru masih cukup besar kemungkinannya untuk mendapatkan dua-duanya angka atau dua-duanya gambar. Tapi seandainya lu melempar koin tersebut sebanyak 1000 kali, maka lu bisa berharap bahwa jumlah angka yang keluar nggak akan jauh-jauh dari 500. Nah, angka 500 itulah yang disebut sebagai Frekuensi Harapan. Bahasa Inggrisnya, Expected Value.

Ketika jumlah pelemparan masih sedikit, maka masih besar kemungkinan untuk jauh dari Frekuensi Harapan. Tapi ketika jumlah pelemparan semakin banyak, maka hasilnya akan semakin dekat dengan Frekuensi Harapannya. Teori ini dikenal juga dengan sebutan Law of large numbers. Di zenius.net, gue pernah membahas kasus pelemparan koin ini di sini: Peluang Suatu Kejadian (Kelas 12 – Kurikulum 2013 Revisi)

Kalau lu mencatat proses pelemparan koin selama 100 kali aja, maka kira-kira lu bisa mendapatkan grafik seperti di bawah ini.

Grafik di atas menunjukkan persentase kemunculan Gambar dalam pelemparan koin sebanyak 100 kali. Lu bisa lihat bahwa ketika jumlah pelemparan masih kecil (1-30), maka persentase kemunculan gambar masih jauh dari 50%. Tapi semakin banyak jumlah koin yang dilempar, semakin dekat dia dengan frekuensi harapannya, yaitu 50%.

Catatan: Grafik di atas adalah hasil simulasi koin yang gue lakukan (pakai software sih, nggak beneran gue ngelempar koin satu-satu. Hehe). Bukan berarti setiap simulasi pelemparan koin hasilnya pasti seperti itu. Kalau kita ulang lagi dari awal simulasinya, kemungkinan besar hasilnya akan mirip, tapi nggak sama persis.

Nah, jika law of large number pada simulasi pelemparan koin ini kita terapkan pada persentase jenis kelamin manusia bisa nggak? Jelas bisa dong. Sama seperti pelemparan koin, jika kita melihat sampelnya sedikit, misalnya cuma 5-10 orang wanita yang melahirkan, jumlah perbandingan cowok-cewek mungkin nggak akan 50% – 50%. Bisa jadi ada beberapa ibu yang anaknya cowok semua, atau malah cewek semua. Tapi gimana kalo kita lihat dalam skala besar? Berapa sih jumlah perbandingan cowok-cewek di seluruh dunia?

Perbandingan jenis kelamin manusia atau human sex ratio di dunia dari tahun ke tahun nggak akan jauh-jauh dari 1:1. Kalaupun ada perbedaan, kemungkinan disebabkan oleh faktor eksternal (di luar faktor biologis pembuahan hingga kelahiran) seperti peperangan, maraknya aborsi berdasarkan preferensi gender, dan sebagainya.

Eksperimen Gregor Mendel dalam Genetika

Oke, balik lagi ke konsep genetika. Sebetulnya ketika teori genetika ini dirumuskan, apakah memperhitungkan frekuensi harapan? Iya dong, percobaan yang dilakukan untuk merumuskan teori genetika ini nggak main-main, dilakukan dengan sangat cermat dalam jangka waktu yang panjang juga.

Tokoh yang berjasa banget dalam menemukan konsep genetika adalah seorang pendeta kelahiran Austria, namanya Gregor Mendel. Pada tahun 1856, Mendel memulai eksperimennya dengan berbagai macam tanaman, di mana proses penelitian tersebut baru selesai delapan tahun kemudian!

Sebelum Mendel, para ahli biologi menganggap bahwa sifat-sifat yang diturunkan kepada anak adalah campuran dari sifat orang tua. Sebagai contoh, bunga merah ketika disilangkan dengan bunga biru, maka persilangan tersebut akan menghasilkan anak yang warnanya merupakan percampuran antara merah dan biru, yaitu ungu. Begitu juga manusia, orang zaman dulu percaya kalo bapaknya tinggi besar, ibunya pendek dan kurus, pasti postur fisik anaknya jadi sedeng, hehe… Ini adalah pemikiran ahli biologi pada zaman dahulu sebelum Mendel. Tapi pemikiran ini hanyalah spekulasi semata, bukan berdasarkan percobaan yang dilakukan.

Nah, ketika Mendel menyusun rencana eksperimennya, beliau tidak berpikir untuk membiakkan segelintir tanaman aja. Jumlah tanaman yang ia biakkan itu bukan cuma 10, atau 100, atau bahkan 1000. Tapi selama delapan tahun dia melakukan eksperimen, kira-kira dia sudah membiakkan sebanyak 28.000 tanaman. Percobaan ini dilakukan di tanah seluas 2 hektar!

Lu bisa bayangin di sini apa yang terjadi kalau Mendel nggak mengerti konsep Frekuensi Harapan. Mungkin dia cuma melakukan eksperimen dengan segelintir tanaman dan eksperimennya nggak akan menghasilkan rumusan teori yang akurat. Sebagai selingan, lo bisa lihat cuplikan video Youtube yang mengilustrasikan saat-saat ketika Mendel memulai penelitiannya.

Peluang Terjadinya Kondisi Ekstrem

Kembali lagi kepada konsep Frekuensi Harapan. Pada kasus pelemparan koin, kita tahu bahwa kalau jumlah pelemparannya masih sedikit, biasanya hasilnya masih jauh dari frekuensi harapan. Tapi kalau pelemparannya banyak, maka hasilnya akan mendekati frekuensi harapan. Tapi hal ini bisa ditunjukkan secara matematis nggak sih? Bukan cuma dengan melakukan simulasi?

Nah, supaya kebayang secara matematis kenapa hal tersebut mungkin terjadi, gue mau mengajak lu menghitung-hitung probabilitas terjadinya kejadian-kejadian ekstrem dari contoh-contoh soal yang gue sebutin di atas. Maksudnya kejadian ekstrem adalah kejadian yang jauh dari frekuensi harapannya. Misalnya pada pelemparan koin, frekuensi harapan kemunculan gambar adalah 50%. Tapi mungkin nggak dalam pelemparan sebenarnya, lu mendapatkan 100% gambar atau 0% gambar? Mungkin-mungkin aja. Nah, itu adalah kondisi ekstrem.

So, kita balik ke soal-soal yang tadi ya.

Lu mengawinkan kacang polong tinggi heterozigot (Tt) dengan sesamanya. Lu udah tahu bahwa peluang keturunannya tinggi juga adalah ¾. Nah, coba hitung:

  1. Jika jumlah keturunannya ada 4. Berapa peluang empat-empatnya adalah tinggi?
  2. Jika jumlah keturunannya ada 100. Berapa peluang seratus-seratusnya adalah tinggi?

Untuk jawaban yang pertama, sebelum kita hitung, kita buat diagram pohonnya aja dulu biar kebayang.

Untuk menghitung peluang keempat-empatnya tinggi, maka kita tinggal lihat diagram yang paling atas, yaitu yang ini:

Terus tinggal kita kalikan deh:

Sekarang coba kita kerjain untuk soal yang kedua. Konsepnya sama aja. Tapi berhubung keturunannya ada 100, maka kita kalikan sebanyak 100 kali. Hasilnya adalah:

Dari kedua soal ini lu bisa lihat seberapa jauh bedanya kalau kita ambil sampel 4 dengan 100. Ketika keturunannya cuma 4, peluang terjadinya kondisi ekstrim masih besar, yaitu sebesar 0,32. Tapi ketika jumlah sampelnya 100, peluang terjadinya kondisi ekstrim menjadi jauh lebih kecil.

 

Biologi dan Matematika

Okay deh. Sekarang kebayang lah ya bagaimana hubungan antara konsep genetika dengan konsep peluang di matematika. Kalau sebelumnya lu masih beranggapan bahwa biologi itu cuma hafalan, mungkin dengan satu contoh ini, perspektif lu bisa mulai berubah.

Ngomong-ngomong, gimana dengan traktiran yang dijanjikan sama murid gue tadi? Sayangnya beberapa saat setelah dia ngomong gitu, gue nyengir-nyengir. Melihat gue nyengir, kayaknya dia jadi takut kalau gue bisa nunjukin hubungan biologi dan matematika. Jadi dia langsung menarik lagi kata-katanya. Nggak jadi ditraktir deh. 🙁

—————————CATATAN EDITOR—————————

Kalo ada di antara kamu yang mau ngobrol atau diskusi sama Kak Wisnu tentang konsep genetika, hereditas, dan matematika khususnya teori probabilitas dan angka harapan, silakan langsung aja tinggalin komentar di bawah artikel ini. Untuk yang mau belajar lebih lanjut dengan topik ini, bisa juga nonton video pembahasan materinya di sini:

Tertarik belajar dengan zenius.net? Kamu bisa pesan membership zenius.net di sini.