Artikel ini mengupas tuntas karya ilmiah Euclid, konsep postulat, dan peranan Euclid di dalam dan di luar dunia Matematika.

Buat yang udah biasa belajar ditemanin Zenius, mungkin lo udah familiar lah ya gimana serunya belajar matematika lewat konsep postulat yang diajarkan Sabda. Banyak pembelajar Zenius yang ngaku, dengan memahami postulat dasar yang udah secara terstruktur diajarkan Sabda, mereka terbantu banget untuk memecahkan soal-soal di Matematika. Bahkan dengan bekal postulat dasar tersebut, mereka jadi ketagihan untuk ngulik matematika lebih jauh.

Konsep Postulat sendiri sebenarnya udah sangat umum di dunia Matematika. Sudah banyak ahli dan pengajar matematika terdahulu jauh sebelum zenius yang mengaplikasikan konsep Postulat secara terstruktur dalam mengembangkan dunia Matematika sebagai salah satu cabang ilmu.

Tapi lo pernah ga sih penasaran,

Siapa sih pemikir besar yang pertama kali menggunakan konsep Postulat dengan briliannya untuk mendemonstrasikan betapa powerful dan indahnya Matematika?

Siapa yang punya ide begitu canggihnya untuk mengaplikasikan Postulat secara terstruktur dan rapi sehingga berhasil menginspirasi banyak orang kalo keindahan matematika itu nggak hanya terletak di soal hitung-hitungan aja, tapi matematika juga menawarkan pengalaman menantang dalam berpikir dan berlogika yang bikin ketagihan untuk terus diulik-ulik?

Euclid: Bapak Geometri

“[I said to myself], you never can make a lawyer if you do not understand what ‘demonstrate’ means; and I left my situation in Springfield, went home to my father’s house, and stayed there till I could give any proposition in the six books of Euclid at sight. I then found out what ‘demonstrate’ means, and went back to my law studies.”
– Abraham Lincoln, Presiden Amerika ke-16, mantan pengacara

Nama Euclid sering dikenal sebagai Bapak Geometri. Kontribusinya di Geometri nggak perlu dipertanyakan lagi. Sampai sekarang, ketika kita belajar konsep titik, garis, sudut, lingkaran, dan sebagainya, kita masih merujuk pada The Elements, buku yang ditulis Euclid sekitar 300 SM. Itu 2300 tahun yang lalu, bo! Pengaruh pemikiran Euclid itu sebenarnya jauh lebih luas dari sekedar Geometri aja; pemikirannya memberikan inspirasi kepada pemikir hebat lainnya untuk melakukan hal serupa yang dilakukan Euclid pada buku The Elements itu pada bidang lainnya. Lo bisa bayangin, bahkan Abraham Lincoln aja, presiden Amerika ke 16, baca buku ini.

Meskipun pengaruh Euclid itu besar banget, tapi anehnya, Euclid ini ternyata nggak terlalu populer di kalangan pelajar zaman modern sekarang. Gue pernah nanya di kelas, “Pernah denger Euclid nggak?” Semuanya jawab nggak tau. Heh… yang bener aja lu. Beda sama kalau gue ngomongin pemikir-pemikir Yunani lainnya, seperti Pythagoras, itu semua orang tahu karena ada dalilnya yang terkenal itu dan masih dipakai sampai sekarang. Begitu juga ketika gue ngomongin Archimedes, beberapa anak langsung inget, “Archimedes itu yang pernah lari telanjang di tengah kota sambil teriak-teriak EUREKA itu bukan sih?” Meskipun yang diinget itu sesuatu yang enggak banget, tapi minimal masih diinget lah. Bahkan nama-nama seperti Socrates, Plato, Aristotles aja masih ada beberapa yang tau. Tapi Euclid? Siapa tuh? Mungkin lo sendiri baru denger namanya pas baca artikel ini. :p

Kehidupan Euclid sendiri memang minim catatan sejarahnya. Kita cuma tahu bahwa dulu dia bikin sekolah di Alexandria dan mengajar Geometri di sana, sekitar tahun 300 SM. Nama Euclid sendiri juga jarang disebut dalam catatan sejarah. Bahkan oleh Matematikawan Yunani lainnya, dia lebih sering dirujuk sebagai “Penulis The Elements”. Mungkin bisa dibilang bahwa satu-satunya hal yang kita tahu dari Euclid adalah karya besarnya ini: The Elements.

The Elements telah dipakai sebagai textbook untuk pengajaran Matematika, bukan cuma di jaman Yunani kuno, tapi juga di berbagai peradaban lainnya dari generasi ke generasi hingga sekarang. Buku ini pernah diterjemahkan ke dalam Bahasa Arab di sekitar tahun 800, dan menjadi bagian tak terpisahkan dari zaman keemasaan peradaban Islam. Bahkan versi latin dari buku ini, yang akhirnya dipakai oleh cendikiawan Eropa sejak abad 12, diterjemahkan dari terjemahan berbahasa Arab ini. Kemudian ketika Eropa menemukan mesin cetak (sekitar tahun 1400an), buku The Elements dicetak secara masif dan termasuk buku yang populer (baca: paling banyak diproduksi) banget pada jaman itu, bahkan diprediksi sempet jadi buku populer nomor 2 setelah Bible. Bayangin, buku matematika bisa jadi best selling book! Harry Potter mah lewat.

Okay, sebenernya apa sih yang membuat buku The Elements ini populer banget dan dibaca oleh berbagai cendikiawan di seluruh dunia? Nah, melalui tulisan singkat ini, gue akan coba menunjukkan ke elu kenapa buku itu penting dan punya pengaruh yang sangat signifikan ke berbagai pemikir lainnya. Gimana bisa buah pemikiran seorang matematikawan menginspirasi seorang pengacara dan presiden. Meskipun artikel gue ini tentu nggak akan bisa menggantikan pengalaman yang akan lo dapet kalau lo baca buku itu sendiri, gue tetep akan berusaha sebisa gue untuk memperkenalkan konsep yang ada di buku The Elements itu. Lebih baik lagi tentunya kalau artikel ini bikin lo jadi pengen baca langsung bukunya. 🙂

Buat lo yang ngakunya cinta sama Matematika, belum sah rasanya kalo lo belum mengerti betapa gokilnya Euclid. So, lo wajib baca artikel ini sampe habis. Artikel ini juga recommended dibaca buat lo yang kebetulan lagi belajar Geometri di sekolah atau untuk persiapan tes masuk PTN, biar makin asik gitu belajar geometrinya.

The Elements

Sebelum gue ceritain isi bukunya, gue kasih tau dulu ya secara singkat kerangka karya Euclid yang tersohor itu. The Elements terdiri dari 13 jilid buku. Seluruh buku itu dibagi menjadi 4 bagian:

1. Definitions (Definisi)

Berisikan definisi tentang titik, garis, garis lurus, sudut, sudut tegak lurus, lingkaran, dan sebagainya. Total ada 23 definisi.

2. Postulates (Postulat)

Nah ini nih yang seru. Ada 5 postulat. Gue akan jelasin lebih detil tentang postulat di bawah.

3. Common Notions (Gagasan Umum)

Common Notions ini sebenernya mirip kayak postulat, cuma kalau postulat yang disebutin Euclid itu hanya untuk konteks Geometri, common notions berlaku lebih luas lagi dalam matematika. Di matematika modern, istilah common notions udah nggak dipakai lagi sih, diganti jadi Aksioma (Axiom), yang artinya sebenernya sama aja dengan postulat.

4. Propositions (Dalil)

Total ada 441 dalil di buku The Elements. Seluruh bukti pada tiap-tiap dalil diturunkan dari 5 Postulates dan 5 Common Notions di atas.Kira-kira 98% isi buku ini adalah pembuktian dari masing-masing dalil.

Apa itu Postulat?

Ketika mengajarkan Geometri, Euclid ingin menjelaskan segala sesuatunya dengan dimulai dari hal yang sesederhana mungkin. Hal yang begitu sederhana yang membuat orang pasti setuju dan tidak terbantahkan kebenarannya. Ini nih yang dimaksud Postulat. Kalo mau pake definisi baku, kita bisa pinjam definisi menurut Wolfram Alpha:

Postulate is a statement, also known as an axiom, which is taken to be true without proof.

Jadi Postulat (boleh juga disebut sebagai Aksioma) adalah suatu pernyataan yang dianggap benar tanpa bukti. Loh, kok tanpa bukti? Bukannya matematika itu harus selalu ada buktinya ya? Iya, matematika itu memang perlu bukti (proof), tapi ya nggak selalu. Untuk mengerti kenapa begitu, coba lo bayangin hal ini deh:

Gue mau membuktikan pernyataan berikut ini misalnya:

$$x^2-9 = (x+3)(x-3)$$

Gimana cara buktiinnya? Mungkin gue buktikan itu dengan cara menurunkannya dari konsep lain yang udah diketahui, yaitu ini:

$$x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$$

Tapi pernyataan bahwa $$x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$$ itu kan juga belum gue buktiin. Cara buktiinnya gimana? Oh, mungkin gue bisa buktikan pakai konsep aljabar, bahwa:

$$\begin{array}{r l}(x+y)(x-y) &= x(x-y) + y(x-y) \\&= x^2-xy + xy-y^2 \\&= x^2-y^2\end{array}$$

Okay, kita berhasil buktiin lagi pernyataan tadi. Tapi lagi-lagi, gue belum buktiin kenapa $$(x+y)(x-y) = x(x-y) + y(x-y)$$. Gue bisa bilang bahwa bukti dari pernyataan itu diturunkan dari konsep distributif. Kalau gitu gimana cara kita membuktikan konsep distributif?

Proses ini bisa lo terusin sampai akhirnya ketemu ujungnya, yaitu sampai mendapat suatu pernyataan yang benar-benar nggak bisa dibuktikan lagi. Nah, ujungnya itulah yang kita sebut dengan Postulat. Jadi singkatnya, Postulat itu adalah suatu yang membuat matematikawan akhirnya bilang, “Udeh.. terima aje.” Karena postulat ini adalah struktur dasar untuk membuktikan setiap pernyataan di matematika, jadi ya postulat itu sendiri nggak bisa dibuktikan.

Postulat Euclid

Sampai di sini gue harap lo udah ngeh ya sama postulat itu apa. Nah, Euclid sendiri cuma membuat 5 postulat di bukunya (dan 5 common notions). Dari situ, dia membuktikan buanyak banget propositions (dalil), yang kesemuanya itu dia turunkan dari postulat dan common notions itu. Penasaran postulatnya kayak apa? Nih, lihat aja di sini:

Bahasanya keriting banget yah? Tulisan yang di sebelah kiri itu tulisan Yunani klasik, gue juga nggak bisa bacanya. Haha.. Bahkan terjemahan dalam Bahasa Inggrisnya pun masih rada aneh. Maklumlah, itu buku usianya tua banget. Sekarang udah ada versi yang lebih mudah dimengerti. Salah satunya ada di website Wolfram Alpha, gue copy-paste ke sini:

1. A straight line segment can be drawn joining any two points.
(Sebuah segmen garis bisa digambar dengan menghubungkan dua sembarang titik.)

2. Any straight line segment can be extended indefinitely in a straight line.
(Setiap segmen garis bisa diperpanjang tak terbatas dalam garis lurus.)

3. Given any straight line segment, a circle can be drawn having the segment as radius and one endpoint as center.
(Diberikan sebuah segmen garis, sebuah lingkaran bisa digambar dengan segmen garis tersebut sebagai jari-jari dan salah satu ujung segmen garis sebagai pusat.)

4. All right angles are congruent.
(Semua sudut siku-siku itu kongruen.)

5. If two lines are drawn which intersect a third in such a way that the sum of the inner angles on one side is less than two right angles, then the two lines inevitably must intersect each other on that side if extended far enough. This postulate is equivalent to what is known as the parallel postulate.
(Jika terdapat dua garis yang memotong garis ke tiga sedemikian hingga jumlah sudut dalam pada salah satu sisinya kurang dari dua sudut siku-siku, maka kedua garis tersebut pasti berpotongan satu sama lain pada sisi tersebut jika garisnya diperpanjang cukup jauh. Postulat ini disebut juga parallel postulate.)

Kalau lo perhatiin, sebenernya Postulat Euclid ini sederhana banget. Coba ya kita lihat Postulat pertama:

Postulat 1: Sebuah segmen garis bisa digambar dengan menghubungkan dua sembarang titik.

Jadi kalau gue punya dua titik seperti di bawah ini, titik A dan titik B,

Postulat satu menyebutkan bahwa gue bisa menggambar sebuah segmen garis yang menghubungkan titik A dan titik B itu!

Ketika gue kasih tau ini ke anak-anak di kelas, respon mereka begini, “You don’t say banget ini postulat”. Ya emang you don’t say sih. Tapi coba lo pikir-pikir lagi. Emangnya kenapa kita nggak bisa menggambar 2 segmen garis dari titik A ke titik B? Kenapa nggak bisa 3, 4, 5, atau berapapun? Kenapa cuma bisa 1? Well, jawabannya adalah, “Udeh, terima aje!”. Hehe… Lagi-lagi gue ingetin di sini bahwa postulat itu nggak bisa dibuktikan. Justru postulat inilah yang menjadi dasar atas segala macam pembuktian yang ada di Geometri.

Sebagai contoh, dengan adanya postulat satu ini, kita bisa membuktikan bahwa suatu segitiga bisa dikonstruksi dari 3 titik. Titik A, B, dan C ini misalnya:

Tinggal tarik segmen garis dari A ke B, dari B ke C, dan dari C ke A, kita bisa membuat suatu segitiga ABC. Tanpa postulat satu, maka segitiga itu nggak bisa kebentuk. Coba aja bayangin kalau dari titik A ke B bisa ditarik 2 segmen garis (dan sisanya masing-masing tetep 1 segmen garis), berarti total ada 4 segmen garis dong. Bukan segitiga namanya kalau ada 4 segmen garis.

Dalil Pertama

Untuk melihat bagaimana Postulat Euclid ini beraksi di buku The Elements, mending kita lihat langsung yuk gimana Euclid menggunakannya untuk membuktikan dalil pertama di bukunya itu.

Dalil ke-9

Berikutnya, kita loncat ke Dalil ke 9.

441 Dalil

Nah, sekarang lo bayangin bahwa Euclid dengan sangat hati-hati membuktikan 441 dalil di buku The Elements itu. Dan semua pembuktian itu bisa diturunkan HANYA dari 5 postulat dan 5 common notions yang dia tulis itu.Gokil kan?!

Meskipun gokil, perlu dicatat bahwa Euclid bisa melakukan ini tentu karena pendahulu-pendahulunya juga. Bahkan kebanyakan sejarahwan yakin bahwa The Elements ini adalah kumpulan dari berbagai pembuktian yang sudah dilakukan oleh pendahulu Euclid.

Selain itu juga tentu karya Euclid nggak sempurna. Setelah beberapa ratus tahun ditulis ulang dan digunakan oleh para cendikiawan, akhirnya ketemu juga berbagai penalaran Euclid yang nggak lengkap. Kekurangan ini akhirnya dilengkapi oleh para matematikawan berikutnya.

Pengaruh Euclid untuk Dunia Matematika

Dengan memberikan pondasi yang jelas pada Geometri, tentu Euclid secara langsung memberikan pengaruh kepada para pemikir baik di jamannya maupun ribuan tahun setelahnya, karena Geometri itu dipakai di mana-mana. Beberapa hal yang pasti, geometri itu dipakai para engineer di Yunani untuk membuat bebagai bangunan; teater, kuil para dewa dan dewi, rumah, pemandian, benteng, stadium, pasar, dan sebagainya. Tetapi selain itu, jangan lupa bahwa geometri itu juga dipakai oleh para astronom ketika mengamati benda-benda di angkasa. Oleh karena itu, Euclid juga sangat berpengaruh ke tokoh-tokoh berikut ini:

• Archimedes (287 – 212 SM)
• Johannes Kepler (1571 – 1630)
• Galileo Galileo (1564 – 1642)
• Isaac Newton (1643 – 1727)
• dan masih banyak lagi

Buku The Elements tentu punya pengaruh langsung kepada mereka, karena yang mereka kerjakan memang seputar Geometri; baik Geometri Bidang Datar maupun Geometri Ruang.

Tapi nih, bagian yang menurut gue lebih gokil lagi adalah, Euclid juga punya pengaruh besar kepada Matematika secara general, yaitu ketika dia memperkenalkan konsep Postulat itu. Euclid menunjukan dengan jelas bagaimana suatu pernyataan dalam matematika itu bisa dibuktikan sampai ke “ujung”, di mana “ujungnya” itu adalah Postulat (atau Aksioma). Hal ini menjadi inspirasi bagi matematikawan lainnya untuk melakukan hal yang sama dan membuktikan sampai ke “ujung”. Salah satu di antaranya adalah Giuseppe Peano.

Serupa dengan pondasi yang dibuat Euclid pada Geometri, Giuseppe Peano juga mengajukan aksioma untuk bilangan bulat. Panjang artikel ini bisa jadi dua kali lipatnya kalau gue tuliskan juga bagaimana Peano menggunakan aksioma tersebut. Sederhananya kira-kira gini, dengan aksioma tersebut, Peano bisa membuktikan berbagai konsep dasar seperti:

• 1 . n = n
• (a + b) + c = a + (b + c)
• x + y = y + x
• (m + n) . r = m.r + n.r
• dst

Jadi kalau mau tau apa buktinya sifat distributif, komutatif, dan asosiatif, pelajarilah aksioma Peano ini. Lo juga bisa membuktikan hal-hal yang kelihatan sederhana seperti kenapa 2+1=3, kenapa 3+2=5, dsb. dari aksioma Peano ini. Oiya, Peano juga memberikan dasar untuk pembuktian dengan cara Induksi Matematika.

Berikutnya, ada juga Bertrand Russell, seorang matematikawan, filsuf, dan peraih Nobel terkenal dari Inggris. Doi mulai membaca The Elements sejak umur 11 tahun. Wih, kayaknya emang udah cinta sama matematika sejak kecil yah. Bersama Alfred North Whitehead, dia membuat buku The Principles of Mathematics, suatu usaha untuk memberikan dasar logika bagi matematika. Buku itu terdiri dari 3 volume dan dikerjakan selama beberapa tahun.

Yang lebih menarik lagi adalah, setelah selesai dengan buku tersebut, Russell menulis buku lagi yang judulnya The Problems of Philosophy, yang menjadi salah satu pelopor Filsafat Analitik. Buku ini adalah salah satu buku favorit gue. Gue masih inget kalimat pertama di buku itu begini,

Pengaruh Euclid di Luar Matematika

Euclid bahkan memberikan inspirasi kepada berbagai tokoh dunia lainnya di luar Matematika. Salah satu contohnya adalah Abraham Lincoln, presiden Amerika Serikat ke 16 yang berhasil menghapuskan perbudakan. Salah satu cerita yang lumayan terkenal dapat lo baca sendiri di quote Lincoln yang gue sisipkan di awal artikel ini.

Ceritanya, ketika Lincoln masih belajar di sekolah hukum untuk menjadi pengacara, di buku-buku hukum yang dia baca, dia banyak sekali menemukan kata “demonstrate”. Dia udah coba buka kamus sana-sini untuk memahami makna kata tersebut. Tapi dia ga merasa puas dengan apa yang dia baca di kamus. Seorang Lincoln merasa dia belum bisa menjadi pengacara yang baik kalo dia belum bisa mengerti apa sih yang dimaksud dengan “demonstrate”. Akhirnya dia mencoba mengabaikan pikirannya yang mengganjel tersebut. Ilham itu akhirnya datang ketika si Lincoln lagi mengunjungi rumah bapaknya. Di situ, dia baca-baca lagi The Elements dan coba membuktikan beberapa propositions di situ, barulah dia mengerti makna dari “demonstrate“. Buku The Elements karya Euclid tak terelakkan menjadi salah satu buku favorit Abraham Lincoln. Bahkan ketika beliau udah nangkring di White House menjadi presiden Amerika Serikat ke-16, Lincoln masih menyempatkan waktu membaca The Elements untuk mempertajam pikirannya.

Fakta bahwa Lincoln sangat mengagumi mahakarya Euclid tergambarkan pula pada film biografi Abraham Lincoln karya Steven Spielberg, Lincoln (2012). Kalo lo penasaran sama film ini, nih lo bisa intip di Youtube, ada movie clip dari film Lincoln, di mana Lincoln (diperankan oleh Daniel Day-Lewis, doi menang Oscar atas aktingnya memerankan Lincoln) menyebutkan salah satu common notions Euclid yang menginspirasi perjuangannya sebagai presiden Amerika Serikat.

Yah, begitulah kira-kira kenapa Euclid punya peran yang sangat besar dalam peradaban kita. Peran Euclid bukan cuma penting dalam Geometri, tapi juga menjadi inspirasi bagi tokoh-tokoh lainnya untuk menerapkan konsep serupa di berbagai bidang. Euclid bukan sekedar memberikan pengetahuan tentang Geometri, tapi memberikan konstruksi tentang pola pikir! Konstruksi tentang bagaimana suatu pernyataan itu bisa secara hati-hati dibuktikan.

Kalau lu tertarik untuk baca sendiri buku itu, lo bisa baca versi digitalnya di sini:

http://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf

****

Oke deh, sekian dulu ya cerita gue tentang Euclid. Gue harap tulisan ini bisa menginspirasi lo untuk mengulik The Elements lebih lanjut dan matematika secara general. Melalui tulisan ini juga, semoga lo semakin mengerti bahwa satu ilmu itu sangat terhubung dengan ilmu lainnya. Mungkin lo ga kebayang sebelumnya bagaimana ilmu Matematika bisa terkait dengan ilmu filsafat hingga hukum. Ketika kita mendalami sebuah ilmu sampai ke esensinya, kita bakal sadar betapa gokilnya ketika ilmu itu dapat diaplikasikan ke cabang-cabang ilmu lainnya.

==========CATATAN EDITOR===========

Kalo ada di antara kamu yang mau ngobrol atau diskusi sama Wisnu tentang Euclid, The Elements, postulat, atau geometri, langsung aja tinggalin comment di bawah artikel ini ya.