Euclid: Bapak Geometri yang Terlupakan

Artikel ini mengupas tuntas karya ilmiah Euclid, konsep postulat, dan peranan Euclid di dalam dan di luar dunia Matematika.

Buat yang udah biasa belajar ditemanin zenius, mungkin lo udah familiar lah ya gimana serunya belajar matematika lewat konsep postulat yang diajarkan Sabda. Banyak pembelajar zenius yang ngaku, dengan memahami postulat dasar yang udah secara terstruktur diajarkan Sabda, mereka terbantu banget untuk memecahkan soal-soal di Matematika. Bahkan dengan bekal postulat dasar tersebut, mereka jadi ketagihan untuk ngulik matematika lebih jauh.

postulat testi

Konsep Postulat sendiri sebenarnya udah sangat umum di dunia Matematika. Sudah banyak ahli dan pengajar matematika terdahulu jauh sebelum zenius yang mengaplikasikan konsep Postulat secara terstruktur dalam mengembangkan dunia Matematika sebagai salah satu cabang ilmu.

Tapi lo pernah ga sih penasaran,

Siapa sih pemikir besar yang pertama kali menggunakan konsep Postulat dengan briliannya untuk mendemonstrasikan betapa powerful dan indahnya Matematika?

Siapa yang punya ide begitu canggihnya untuk mengaplikasikan Postulat secara terstruktur dan rapi sehingga berhasil menginspirasi banyak orang kalo keindahan matematika itu nggak hanya terletak di soal hitung-hitungan aja, tapi matematika juga menawarkan pengalaman menantang dalam berpikir dan berlogika yang bikin ketagihan untuk terus diulik-ulik?

 

Euclid: Bapak Geometri

[I said to myself], you never can make a lawyer if you do not understand what 'demonstrate' means; and I left my situation in Springfield, went home to my father’s house, and stayed there till I could give any proposition in the six books of Euclid at sight. I then found out what 'demonstrate' means, and went back to my law studies.
- Abraham Lincoln, Presiden Amerika ke-16, mantan pengacara

euclidNama Euclid sering dikenal sebagai Bapak Geometri. Kontribusinya di Geometri nggak perlu dipertanyakan lagi. Sampai sekarang, ketika kita belajar konsep titik, garis, sudut, lingkaran, dan sebagainya, kita masih merujuk pada The Elements, buku yang ditulis Euclid sekitar 300 SM. Itu 2300 tahun yang lalu, bo! Pengaruh pemikiran Euclid itu sebenarnya jauh lebih luas dari sekedar Geometri aja; pemikirannya memberikan inspirasi kepada pemikir hebat lainnya untuk melakukan hal serupa yang dilakukan Euclid pada buku The Elements itu pada bidang lainnya. Lo bisa bayangin, bahkan Abraham Lincoln aja, presiden Amerika ke 16, baca buku ini.

Meskipun pengaruh Euclid itu besar banget, tapi anehnya, Euclid ini ternyata nggak terlalu populer di kalangan pelajar zaman modern sekarang. Gue pernah nanya di kelas, “Pernah denger Euclid nggak?” Semuanya jawab nggak tau. Heh… yang bener aja lu. Beda sama kalau gue ngomongin pemikir-pemikir Yunani lainnya, seperti Pythagoras, itu semua orang tahu karena ada dalilnya yang terkenal itu dan masih dipakai sampai sekarang. Begitu juga ketika gue ngomongin Archimedes, beberapa anak langsung inget, “Archimedes itu yang pernah lari telanjang di tengah kota sambil teriak-teriak EUREKA itu bukan sih?” Meskipun yang diinget itu sesuatu yang enggak banget, tapi minimal masih diinget lah. Bahkan nama-nama seperti Socrates, Plato, Aristotles aja masih ada beberapa yang tau. Tapi Euclid? Siapa tuh? Mungkin lo sendiri baru denger namanya pas baca artikel ini. :p

Kehidupan Euclid sendiri memang minim catatan sejarahnya. Kita cuma tahu bahwa dulu dia bikin sekolah di Alexandria dan mengajar Geometri di sana, sekitar tahun 300 SM. Nama Euclid sendiri juga jarang disebut dalam catatan sejarah. Bahkan oleh Matematikawan Yunani lainnya, dia lebih sering dirujuk sebagai “Penulis The Elements”. Mungkin bisa dibilang bahwa satu-satunya hal yang kita tahu dari Euclid adalah karya besarnya ini: The Elements.

The Elements telah dipakai sebagai textbook untuk pengajaran Matematika, bukan cuma di jaman Yunani kuno, tapi juga di berbagai peradaban lainnya dari generasi ke generasi hingga sekarang. Buku ini pernah diterjemahkan ke dalam Bahasa Arab di sekitar tahun 800, dan menjadi bagian tak terpisahkan dari jaman keemasaan peradaban Islam. Bahkan versi latin dari buku ini, yang akhirnya dipakai oleh cendikiawan Eropa sejak abad 12, diterjemahkan dari terjemahan berbahasa Arab ini. Kemudian ketika Eropa menemukan mesin cetak (sekitar tahun 1400an), buku The Elements dicetak secara masif dan termasuk buku yang populer (baca: paling banyak diproduksi) banget pada jaman itu, bahkan diprediksi sempet jadi buku populer nomor 2 setelah Bible. Bayangin, buku matematika bisa jadi best selling book! Harry Potter mah lewat.

Okay, sebenernya apa sih yang membuat buku The Elements ini populer banget dan dibaca oleh berbagai cendikiawan di seluruh dunia? Nah, melalui tulisan singkat ini, gue akan coba menunjukkan ke elu kenapa buku itu penting dan punya pengaruh yang sangat signifikan ke berbagai pemikir lainnya. Gimana bisa buah pemikiran seorang matematikawan menginspirasi seorang pengacara dan presiden. Meskipun artikel gue ini tentu nggak akan bisa menggantikan pengalaman yang akan lo dapet kalau lo baca buku itu sendiri, gue tetep akan berusaha sebisa gue untuk memperkenalkan konsep yang ada di buku The Elements itu. Lebih baik lagi tentunya kalau artikel ini bikin lo jadi pengen baca langsung bukunya. 🙂

Buat lo yang ngakunya cinta sama Matematika, belum sah rasanya kalo lo belum mengerti betapa gokilnya Euclid. So, lo wajib baca artikel ini sampe habis. Artikel ini juga recommended dibaca buat lo yang kebetulan lagi belajar Geometri di sekolah atau untuk persiapan tes masuk PTN, biar makin asik gitu belajar geometrinya.

banner euclid done

 

The Elements

the elements

Sebelum gue ceritain isi bukunya, gue kasih tau dulu ya secara singkat kerangka karya Euclid yang tersohor itu. The Elements terdiri dari 13 jilid buku. Seluruh buku itu dibagi menjadi 4 bagian:

1. Definitions (Definisi)

Berisikan definisi tentang titik, garis, garis lurus, sudut, sudut tegak lurus, lingkaran, dan sebagainya. Total ada 23 definisi.

2. Postulates (Postulat)

Nah ini nih yang seru. Ada 5 postulat. Gue akan jelasin lebih detil tentang postulat di bawah.

3. Common Notions (Gagasan Umum)

Common Notions ini sebenernya mirip kayak postulat, cuma kalau postulat yang disebutin Euclid itu hanya untuk konteks Geometri, common notions berlaku lebih luas lagi dalam matematika. Di matematika modern, istilah common notions udah nggak dipakai lagi sih, diganti jadi Aksioma (Axiom), yang artinya sebenernya sama aja dengan postulat.

4. Propositions (Dalil)

Total ada 441 dalil di buku The Elements. Seluruh bukti pada tiap-tiap dalil diturunkan dari 5 Postulates dan 5 Common Notions di atas.Kira-kira 98% isi buku ini adalah pembuktian dari masing-masing dalil.

 

Apa itu Postulat?

Ketika mengajarkan Geometri, Euclid ingin menjelaskan segala sesuatunya dengan dimulai dari hal yang sesederhana mungkin. Hal yang begitu sederhana yang membuat orang pasti setuju dan tidak terbantahkan kebenarannya. Ini nih yang dimaksud Postulat. Kalo mau pake definisi baku, kita bisa pinjam definisi menurut Wolfram Alpha:

Postulate is a statement, also known as an axiom, which is taken to be true without proof.

Jadi Postulat (boleh juga disebut sebagai Aksioma) adalah suatu pernyataan yang dianggap benar tanpa bukti. Loh, kok tanpa bukti? Bukannya matematika itu harus selalu ada buktinya ya? Iya, matematika itu memang perlu bukti (proof), tapi ya nggak selalu. Untuk mengerti kenapa begitu, coba lo bayangin hal ini deh:

Gue mau membuktikan pernyataan berikut ini misalnya:

x^2-9 = (x+3)(x-3)

Gimana cara buktiinnya? Mungkin gue buktikan itu dengan cara menurunkannya dari konsep lain yang udah diketahui, yaitu ini:

x^2-y^2 = (x+y)(x-y)

Tapi pernyataan bahwa x^2-y^2 = (x+y)(x-y) itu kan juga belum gue buktiin. Cara buktiinnya gimana? Oh, mungkin gue bisa buktikan pakai konsep aljabar, bahwa:

\begin{array}{r l}(x+y)(x-y) &= x(x-y) + y(x-y) \\&= x^2-xy + xy-y^2 \\&= x^2-y^2\end{array}

Okay, kita berhasil buktiin lagi pernyataan tadi. Tapi lagi-lagi, gue belum buktiin kenapa (x+y)(x-y) = x(x-y) + y(x-y). Gue bisa bilang bahwa bukti dari pernyataan itu diturunkan dari konsep distributif. Kalau gitu gimana cara kita membuktikan konsep distributif?

Proses ini bisa lo terusin sampai akhirnya ketemu ujungnya, yaitu sampai mendapat suatu pernyataan yang benar-benar nggak bisa dibuktikan lagi. Nah, ujungnya itulah yang kita sebut dengan Postulat. Jadi singkatnya, Postulat itu adalah suatu yang membuat matematikawan akhirnya bilang, “Udeh.. terima aje.” Karena postulat ini adalah struktur dasar untuk membuktikan setiap pernyataan di matematika, jadi ya postulat itu sendiri nggak bisa dibuktikan.

 

Postulat Euclid

Sampai di sini gue harap lo udah ngeh ya sama postulat itu apa. Nah, Euclid sendiri cuma membuat 5 postulat di bukunya (dan 5 common notions). Dari situ, dia membuktikan buanyak banget propositions (dalil), yang kesemuanya itu dia turunkan dari postulat dan common notions itu. Penasaran postulatnya kayak apa? Nih, lihat aja di sini:

postulat

Bahasanya keriting banget yah? Tulisan yang di sebelah kiri itu tulisan Yunani klasik, gue juga nggak bisa bacanya. Haha.. Bahkan terjemahan dalam Bahasa Inggrisnya pun masih rada aneh. Maklumlah, itu buku usianya tua banget. Sekarang udah ada versi yang lebih mudah dimengerti. Salah satunya ada di website Wolfram Alpha, gue copy-paste ke sini:

1. A straight line segment can be drawn joining any two points.
(Sebuah segmen garis bisa digambar dengan menghubungkan dua sembarang titik.)

2. Any straight line segment can be extended indefinitely in a straight line.
(Setiap segmen garis bisa diperpanjang tak terbatas dalam garis lurus.)

3. Given any straight line segment, a circle can be drawn having the segment as radius and one endpoint as center.
(Diberikan sebuah segmen garis, sebuah lingkaran bisa digambar dengan segmen garis tersebut sebagai jari-jari dan salah satu ujung segmen garis sebagai pusat.)

4. All right angles are congruent.
(Semua sudut siku-siku itu kongruen.)

5. If two lines are drawn which intersect a third in such a way that the sum of the inner angles on one side is less than two right angles, then the two lines inevitably must intersect each other on that side if extended far enough. This postulate is equivalent to what is known as the parallel postulate.
(Jika terdapat dua garis yang memotong garis ke tiga sedemikian hingga jumlah sudut dalam pada salah satu sisinya kurang dari dua sudut siku-siku, maka kedua garis tersebut pasti berpotongan satu sama lain pada sisi tersebut jika garisnya diperpanjang cukup jauh. Postulat ini disebut juga parallel postulate.)

Kalau lo perhatiin, sebenernya Postulat Euclid ini sederhana banget. Coba ya kita lihat Postulat pertama:

Postulat 1: Sebuah segmen garis bisa digambar dengan menghubungkan dua sembarang titik.

Jadi kalau gue punya dua titik seperti di bawah ini, titik A dan titik B,

titik AB

Postulat satu menyebutkan bahwa gue bisa menggambar sebuah segmen garis yang menghubungkan titik A dan titik B itu!

Ketika gue kasih tau ini ke anak-anak di kelas, respon mereka begini, “You don’t say banget ini postulat”. Ya emang you don’t say sih. Tapi coba lo pikir-pikir lagi. Emangnya kenapa kita nggak bisa menggambar 2 segmen garis dari titik A ke titik B? Kenapa nggak bisa 3, 4, 5, atau berapapun? Kenapa cuma bisa 1? Well, jawabannya adalah, “Udeh, terima aje!”. Hehe… Lagi-lagi gue ingetin di sini bahwa postulat itu nggak bisa dibuktikan. Justru postulat inilah yang menjadi dasar atas segala macam pembuktian yang ada di Geometri.

Sebagai contoh, dengan adanya postulat satu ini, kita bisa membuktikan bahwa suatu segitiga bisa dikonstruksi dari 3 titik. Titik A, B, dan C ini misalnya:

titik ABC

Tinggal tarik segmen garis dari A ke B, dari B ke C, dan dari C ke A, kita bisa membuat suatu segitiga ABC. Tanpa postulat satu, maka segitiga itu nggak bisa kebentuk. Coba aja bayangin kalau dari titik A ke B bisa ditarik 2 segmen garis (dan sisanya masing-masing tetep 1 segmen garis), berarti total ada 4 segmen garis dong. Bukan segitiga namanya kalau ada 4 segmen garis.

 

Dalil Pertama

Untuk melihat bagaimana Postulat Euclid ini beraksi di buku The Elements, mending kita lihat langsung yuk gimana Euclid menggunakannya untuk membuktikan dalil pertama di bukunya itu.

 

Dalil ke-9

Berikutnya, kita loncat ke Dalil ke 9.

 

441 Dalil

Nah, sekarang lo bayangin bahwa Euclid dengan sangat hati-hati membuktikan 441 dalil di buku The Elements itu. Dan semua pembuktian itu bisa diturunkan HANYA dari 5 postulat dan 5 common notions yang dia tulis itu.Gokil kan?!

Meskipun gokil, perlu dicatat bahwa Euclid bisa melakukan ini tentu karena pendahulu-pendahulunya juga. Bahkan kebanyakan sejarahwan yakin bahwa The Elements ini adalah kumpulan dari berbagai pembuktian yang sudah dilakukan oleh pendahulu Euclid.

Selain itu juga tentu karya Euclid nggak sempurna. Setelah beberapa ratus tahun ditulis ulang dan digunakan oleh para cendikiawan, akhirnya ketemu juga berbagai penalaran Euclid yang nggak lengkap. Kekurangan ini akhirnya dilengkapi oleh para matematikawan berikutnya.

Salah satu potongan kuno dari naskah The Elements yang asli
Salah satu potongan kuno dari naskah The Elements

 

 

Pengaruh Euclid untuk Dunia Matematika

Dengan memberikan pondasi yang jelas pada Geometri, tentu Euclid secara langsung memberikan pengaruh kepada para pemikir baik di jamannya maupun ribuan tahun setelahnya, karena Geometri itu dipakai di mana-mana. Beberapa hal yang pasti, geometri itu dipakai para engineer di Yunani untuk membuat bebagai bangunan; teater, kuil para dewa dan dewi, rumah, pemandian, benteng, stadium, pasar, dan sebagainya. Tetapi selain itu, jangan lupa bahwa geometri itu juga dipakai oleh para astronom ketika mengamati benda-benda di angkasa. Oleh karena itu, Euclid juga sangat berpengaruh ke tokoh-tokoh berikut ini:

  • Archimedes (287 – 212 SM)
  • Johannes Kepler (1571 – 1630)
  • Galileo Galileo (1564 – 1642)
  • Isaac Newton (1643 – 1727)
  • dan masih banyak lagi

Buku The Elements tentu punya pengaruh langsung kepada mereka, karena yang mereka kerjakan memang seputar Geometri; baik Geometri Bidang Datar maupun Geometri Ruang.

Giuseppe_Peano
Giuseppe Peano

Tapi nih, bagian yang menurut gue lebih gokil lagi adalah, Euclid juga punya pengaruh besar kepada Matematika secara general, yaitu ketika dia memperkenalkan konsep Postulat itu. Euclid menunjukan dengan jelas bagaimana suatu pernyataan dalam matematika itu bisa dibuktikan sampai ke “ujung”, di mana “ujungnya” itu adalah Postulat (atau Aksioma). Hal ini menjadi inspirasi bagi matematikawan lainnya untuk melakukan hal yang sama dan membuktikan sampai ke “ujung”. Salah satu di antaranya adalah Giuseppe Peano.

Serupa dengan pondasi yang dibuat Euclid pada Geometri, Giuseppe Peano juga mengajukan aksioma untuk bilangan bulat. Panjang artikel ini bisa jadi dua kali lipatnya kalau gue tuliskan juga bagaimana Peano menggunakan aksioma tersebut. Sederhananya kira-kira gini, dengan aksioma tersebut, Peano bisa membuktikan berbagai konsep dasar seperti:

  • 1 . n = n
  • (a + b) + c = a + (b + c)
  • x + y = y + x
  • (m + n) . r = m.r + n.r
  • dst

Jadi kalau mau tau apa buktinya sifat distributif, komutatif, dan asosiatif, pelajarilah aksioma Peano ini. Lo juga bisa membuktikan hal-hal yang kelihatan sederhana seperti kenapa 2+1=3, kenapa 3+2=5, dsb. dari aksioma Peano ini. Oiya, Peano juga memberikan dasar untuk pembuktian dengan cara Induksi Matematika.

Berikutnya, ada juga Bertrand Russell, seorang matematikawan, filsuf, dan peraih Nobel terkenal dari Inggris. Doi mulai membaca The Elements sejak umur 11 tahun. Wih, kayaknya emang udah cinta sama matematika sejak kecil yah. Bersama Alfred North Whitehead, dia membuat buku The Principles of Mathematics, suatu usaha untuk memberikan dasar logika bagi matematika. Buku itu terdiri dari 3 volume dan dikerjakan selama beberapa tahun.

Yang lebih menarik lagi adalah, setelah selesai dengan buku tersebut, Russell menulis buku lagi yang judulnya The Problems of Philosophy, yang menjadi salah satu pelopor Filsafat Analitik. Buku ini adalah salah satu buku favorit gue. Gue masih inget kalimat pertama di buku itu begini,

bertrand russell quote

 

Pengaruh Euclid di Luar Matematika

Euclid bahkan memberikan inspirasi kepada berbagai tokoh dunia lainnya di luar Matematika. Salah satu contohnya adalah Abraham Lincoln, presiden Amerika Serikat ke 16 yang berhasil menghapuskan perbudakan. Salah satu cerita yang lumayan terkenal dapat lo baca sendiri di quote Lincoln yang gue sisipkan di awal artikel ini.

Abraham_Lincoln_November_1863Ceritanya, ketika Lincoln masih belajar di sekolah hukum untuk menjadi pengacara, di buku-buku hukum yang dia baca, dia banyak sekali menemukan kata “demonstrate”. Dia udah coba buka kamus sana-sini untuk memahami makna kata tersebut. Tapi dia ga merasa puas dengan apa yang dia baca di kamus. Seorang Lincoln merasa dia belum bisa menjadi pengacara yang baik kalo dia belum bisa mengerti apa sih yang dimaksud dengan "demonstrate". Akhirnya dia mencoba mengabaikan pikirannya yang mengganjel tersebut. Ilham itu akhirnya datang ketika si Lincoln lagi mengunjungi rumah bapaknya. Di situ, dia baca-baca lagi The Elements dan coba membuktikan beberapa propositions di situ, barulah dia mengerti makna dari "demonstrate". Buku The Elements karya Euclid tak terelakkan menjadi salah satu buku favorit Abraham Lincoln. Bahkan ketika beliau udah nangkring di White House menjadi presiden Amerika Serikat ke-16, Lincoln masih menyempatkan waktu membaca The Elements untuk mempertajam pikirannya.

Fakta bahwa Lincoln sangat mengagumi mahakarya Euclid tergambarkan pula pada film biografi Abraham Lincoln karya Steven Spielberg, Lincoln (2012). Kalo lo penasaran sama film ini, nih lo bisa intip di youtube, ada movie clip dari film Lincoln, di mana Lincoln (diperankan oleh Daniel Day-Lewis, doi menang Oscar atas aktingnya memerankan Lincoln) menyebutkan salah satu common notions Euclid yang menginspirasi perjuangannya sebagai presiden Amerika Serikat.

Yah, begitulah kira-kira kenapa Euclid punya peran yang sangat besar dalam peradaban kita. Peran Euclid bukan cuma penting dalam Geometri, tapi juga menjadi inspirasi bagi tokoh-tokoh lainnya untuk menerapkan konsep serupa di berbagai bidang. Euclid bukan sekedar memberikan pengetahuan tentang Geometri, tapi memberikan konstruksi tentang pola pikir! Konstruksi tentang bagaimana suatu pernyataan itu bisa secara hati-hati dibuktikan.

Kalau lu tertarik untuk baca sendiri buku itu, lo bisa baca versi digitalnya di sini:

http://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf

****

Oke deh, sekian dulu ya cerita gue tentang Euclid. Gue harap tulisan ini bisa menginspirasi lo untuk mengulik The Elements lebih lanjut dan matematika secara general. Melalui tulisan ini juga, semoga lo semakin mengerti bahwa satu ilmu itu sangat terhubung dengan ilmu lainnya. Mungkin lo ga kebayang sebelumnya bagaimana ilmu Matematika bisa terkait dengan ilmu filsafat hingga hukum. Ketika kita mendalami sebuah ilmu sampai ke esensinya, kita bakal sadar betapa gokilnya ketika ilmu itu dapat diaplikasikan ke cabang-cabang ilmu lainnya.

 

==========CATATAN EDITOR===========

Kalo ada di antara kamu yang mau ngobrol atau diskusi sama Wisnu tentang Euclid, The Elements, postulat, atau geometri, langsung aja tinggalin comment di bawah artikel ini ya.

Tertarik belajar dengan zenius.net? Kamu bisa pesan vouchernya di sini.

  • Raka

    Artikel bagus yg lagi-lagi mebuat kehausan gua akan science bertambah. Good job Zenius.
    oiya, ada artikel yg nunjukkin tips belajar kimia sbmptn gak?

  • Tito

    mungkin rata-rata pelajar sulit mempelajari matematika, karena tidak mengerti bahkan tidak mendengar yang namanya postulat....

  • Muhammad Alan Nur

    thanks buat penjelasannya bang, makin demen sama matematika nih!

    • Sama-sama, bro. Gue juga seneng kalau makin banyak yang demen sama matematika. 🙂

  • Dery

    keren bang artikelnya! bikin penasaran. pas artikelnya abis gua dalem hati bilang "yah abis" wkwk

    • Nggak nyangka ada yang pengen baca lebih. Artikel di atas udah 2772 kata loh. Hehe... Thanks ya.

      • Alfinsa EP

        Nu, gue udah tau bahwa nurunin rumus-rumus itu penting, apalagi buat kita-kita yang mau SPMB atau UN. Gue masih bingung, sebenernya nurunin rumus itu awalnya harus dari mana?

        • Tergantung mau nurunin rumus apa.

          Sebenernya yang dilakuin Euclid di The Elements mirip kayak kita nurunin rumus ya. Dia mulai dari yang "diketahui", terus ngembangin dari situ. Dalil 1 dibuktikan pakai postulat 1 dan 3. Dalil 9 pakai hal yang udah diketahui pada dalil 1. Dalil lainnya lagi dibuktikan pakai dalil yang sebelumnya udah diketahui. Dan seterusnya sampai 441.

          Kalau kita nurunin rumus juga gitu kan. Misalnya, kita asumsikan bahwa persamaan sin (a+b) = sin a cos b - cos a sin b itu diketahui. Terus gimana mengembangkan ke sin 2x misalnya? Turunin dari yang udah diketahui itu. Dan seterusnya begitu juga.

          • Alfinsa EP

            Secara gak langsung berarti nurunin rumus-rumus itu dimulai dari definisi dan sifat-sifatnya itu sendiri ya?
            ========
            (Misal persamaan kuadrat)
            bentuk umum (definisi): ax^2 + bx + c = 0
            posulat 2, dibagi a semua berarti
            x^2/2 + b/a x + c/a = 0

            persamaan kuadrat dgn akar-akar X1 dan X2, berarti
            (x-x1)(x-x2), yang kalo dijebrengin jadinya
            x^2 - (x1+x2)x + x1.x2 = 0

            postulat 1, ada kesamaan formasi
            -(x1+x2) = b/a
            x1+x2 = -b/a

            x1.x2 = c/a
            ========
            atau turunan, ax^n, jadi nax^n-1

          • Nah iya kira-kira begitu. By the way, udah pernah baca tulisan gue tentang pentingnya membuktikan rumus? Ada di sini:
            https://www.zenius.net/blog/5165/membuktikan-rumus-matematika-penting

            Lihat juga bagian komentarnya karena di situ para rame ngebahas beberapa pembuktian rumus. 🙂

  • Eko Teguh

    @wisnuops

    maaf melenceng dari yg didiskusikan. kak wisnu kata kamu di video fluida statis kls 10 klo batu yg sama di jthkn dri udara ke tanah sama dari udara ke air lebih cepat yang ke air karena ada gaya apung keatas(dri ktinggn yg sama) . bukanya klo gaya apung ketas berarti batunya yang semula gaya kebawah doank jdi berkurang karena ada gaya keatas,brarti yg jtuh duluan hrsnya yg k tanah dong?

  • Rista Nuna

    thank u for this article kak wisnu. it's so inspiring me in learning math

    • Yo. Sama-sama yah.

      • Rista Nuna

        kak, ngomong2 ada lagi gak buku referensi matematika yg bagus selain the elements?

        • Banyak. Mau buku matematika yang kayak apa? 🙂

          • Rista Nuna

            apa aja boleh yg penting "the best of the best math book" 😀

          • Nah, kalau yang kayak gitu nggak ada. Dari sekian banyak buku matematika, masing-masing punya kelebihan yang spesifik, jadi nggak ada yang bisa dibilang "best of the best". 🙂

            Gue sendiri dulu belajar matematika ya standard aja: dari textbook, terutama textbook kuliah. Baca aja dan kerjain soal-soal di situ. Buku Kalkulus, buku Linear Algebra, dsb. Setelah rada "maniac", baru mulai baca buku2 dan artikel2 klasik. Kemarin-kemarin, gue lagi suka baca-baca history of mathematics, mulai dari jaman Yunani, Romawi, sampai sekarang. Intinya, tergantung lo lagi mau ngedalemin belajar apa sih.

          • Rista Nuna

            oh gitu..maaf ya aku salah kasih tau buku matematika yg kumau itu apa..waktu itu aku lg bingung yg mana yg aku mau makanya aku asal jawab "the best of the best"..yaudah kalo gitu gimana kalo yg history of mathematics? belakangan ini aku lg tertarik belajar history of mathematics 😀

          • Kalau History of Mathematics, waktu itu gue baca bukunya Victor Katz. Cek aja di sini. By the way, buku itu juga jadi salah satu sumber inspirasi gue ketika menulis sistem bilangan basis (bisa nggak sih 2+2 = 10?).

          • Rista Nuna

            ok kak thanks buat referensinya. wow! sumber inspirasi yg bagus. aku baru tau lho. soalnya aku udah baca artikel itu ;D

  • Alfinsa EP

    Another great article in Zenius. Gue bahkan menyebutnya, "Postulates: The Secrets of Math" ehe. Btw, methods postulat emang bener ngaruh sih. Keliatan beda antara pake postulat ama gak pake.
    Postulate #1: sama formasi/sama isi
    Postulate #2: kanan kiri diperlakukan sama
    Postulate #3: konsep sama dengan
    Menurut gue, kalo kita udah nguasai postulat, kita jadi bisa ngeliat pola matematika itu sendiri, seperti dalam pengerjaan soal-soal misalnya. (asumsi kita udah pelajari bab itu)

  • Fio

    Without geometry life is "Pointless"

    • Sekilas gue kira lo lagi ngutip tulisan yang ada di depan sekolahnya Plato. Ternyata... tak-bertitik. Haha.

  • Razzaz

    kak, sebenarnya garis itu satu dimensi apa dua dimensi?

    • Satu. Misalnya garisnya itu garis horizontal, berarti titik yang ada di garis itu cuma bisa bergerak ke 1 dimensi kan? Yaitu dimensi kiri dan kanan. Nggak bisa atas-bawah. Nggak bisa depan-belakang.

      Bangun datar itu dua dimensi. Bangun ruang itu tiga dimensi. Titik itu tidak berdimensi.

      Gimana dengan dimensi lebih dari 3? Dimensi 9 misalnya? Hehe... di matematika itu bisa, tapi ya ngebayanginnya tentu lebih susah dibanding dimensi 3.

      • Razzaz

        tetapi kak, faktanya kok gak gitu ya?? definisi 2 dimensi itu kan punya panjang, lebar, dan tinggi kan?.. klo misalnya garis di definisikan sebagai dimensi satu, berarti bertentangan dengan faktanya kak, karena faktanya, mau seruncing apapun pensil/pena kita, tetap aja garisnya punya lebarnya, jadi gimana kak?? saya juga bingung kak, sebenarnya dimensi satu itu bener apa kagak..

        • Oh... jadi gini. Kita harus bisa bedain konsep matematika yang abstrak sama representasi keabstrakan itu supaya kita bisa mempelajarinya.

          Misal, konsep titik (point) dalam matematika itu tidak berdimensi. Nggak ada panjang, nggak ada lebar, nggak ada luasnya. Kalau pada koordinat, titik (2, 3) itu nggak ada dimensinya. Lo geser sedikit aja ke kanan (misalnya geser 0,00001 ke arah sumbu x), maka titiknya nggak jadi (2, 3) lagi kan? So, titik itu nggak berdimensi.

          Tapi ketika kita ingin menunjukkan suatu titik, kita menggunakan noktah (dot) untuk menggambarkannya. Nah, noktah yang kita gambar itu tentu ada luasnya. Sekecil apapun luasnya, tetep luasnya nggak nol. Jadi luas noktah itu adalah penggambaran yang nggak sempurna terhadap suatu titik karena luasnya nggak nol.

          Begitu juga dengan garis. Garis itu juga cuma satu dimensi. Kalau kata Euclid, "a line is a length without breadth. Jadi dia ada panjangnya (length), tapi nggak ada lebarnya (breadth). Tapi lagi-lagi ketika kita menggambar suatu garis pakai pena, tetep aja ada lebarnya. Gambar itu adalah representasi dari garis yang nggak sempurna. Gitu sih kira-kira.

          • Razzaz

            oo iya juga ya kak, berarti ada batasan dalam menentukan definisi ya kak, tapi klo definisi itu bertentangan dengan kaidah lain itu bermasalah gak sih kak? misalnya yang garis tadi orang-orang sebelumnya sepakat bahwa garis itu 2 dimensi (misal) jadi hal itu berpengaruh terhadap hal-hal yang berkaitan dengan garis, seperti luas, volume, dan lain-lain.

            jadi biar gak pusing (terlepas itu garis itu dimensi berapa,) mungkin definisi yang tepat kayak gini kak

            Isi adalah bagian dari ruang alam yang berbatas ke semua penjuru.
            Bidang adalah batas massa.
            garis adalah batas bidang
            Titik adalah batas garis.

            kalo menurut kakak gimana? jadi definisi geometrinya sesuai fakta kak

          • Definisi yang lu ajukan bagus banget sebenernya. Euclid pun melakukan hal yang serupa. Coba lihat buku The Elements yang linknya gue kasih di atas deh. Di situ juga ada definisi tentang titik (point), garis (line), bidang (surface), dsb. Ada kata-kata "The exremities of a line are points", yang mirip dengan definisi yang lo buat. (bahwa titik adalah batas garis)

            Cuma pada matematika modern sekarang ini, definisi semacam itu dianggap kurang tepat. Sekarang udah diperbaharui. Sebagai contoh, matematikawan sekarang setuju bahwa titik itu nggak ada definisinya. Di Wikipedia, deskripsi dari titik disebut begini: A point is a primitive notion upon which the geometry is built. Being a primitive notion means that a point cannot be defined in terms of previously defined objects.. Jadi objek lain di Geometri mungkin bisa didefinisikan dari titik. Tapi titik itu sendiri nggak bisa didefinisikan jadinya.

          • aku setuju sama apa yang bang wisnu bilang kalo seberapapun kecilnya kita gambar tiitk, tetep aja bakal ada lebarnya, kalo misalnya ada definisi yang bilang kalo 'a point is a place', itu menurut bang wisnu gimana?

          • Iya. A point is not a thing, but a place or location. Biasanya itu dianggap sebagai "pengertian" dari titik sih, bukan "definisi". Karena kalau dianggap definisi, nanti kita harus definisiin lagi apa itu place/location. Nggak selesai-selesai. Supaya selesai, yaudah, kita anggap aja titik itu primitive notion, yang nggak ada definisinya. Hal-hal lain dalam geometry bisa didefinisikan menggunakan kata titik ini.

            By the way, gue juga lihat-lihat pengertian titik di Wolfram Alpha. Di situ dia bilang "A point is a 0-dimensional mathematical object.... (masih ada lanjutannya), tapi dia juga nggak nyebutin apakah itu definisi atau cuma pengertian aja. Dia juga bilang begini, "Although the notion of a point is intuitively rather clear, the mathematical machinery used to deal with points and point-like objects can be surprisingly slippery. This difficulty was encountered by none other than Euclid himself who, in his Elements, gave the vague definition of a point as "that which has no part."" Nggak gampang emang kalau kita ngomongin tentang apa itu titik. 🙂

          • Razzaz

            iya kak, buku yang The Elements nya segera saya cek,
            untuk yang definisi-definisi diatas mengenai
            Isi adalah bagian dari ruang alam yang berbatas ke semua penjuru.
            Bidang adalah batas massa.
            garis adalah batas bidang
            Titik adalah batas garis.
            Sebelum saya tahu buku The Elements, saya nemuin definisi tersebut di buku Madilog kak, karangannya Tan Malaka, di buku itu juga dibahas mengenai science, menurut pandangannya Tan Malaka kak.

  • Nadia Putri Palupi

    Ya Ampun ga abis pikir dah cara berpikirnya beliau keren bnget yoo. Mungkin dia kalo mau masukuniv jurusan apapun jalur apapun masuk wkwkw

    • Euclid mah nggak usah kuliah lagi juga dapet Doktor Honoris Causa. 🙂

  • M Fahrur Roji

    keren kak artikelnya membuat pengetahuan saya bertambah

  • Dyah

    Kayaknya artikel ini jd artiker paling favorit gw. Pas baca pikiran gw langsung nyatuin ilmu2 yg gw punya walaupun lg bahas matematika. Gw baru bener2 nangkep esensi ilmu pengetahuan. Keren...

  • Dini Fauzi

    Keren lah bang artikel lu yang ini. Bang mau tanya nih lulusan 2014 kira2 bisa ga ya ambil univ negeri di tahun 2017? soalnya udah pake zenius xpedia 2.0 tapi
    kaya kurang waktu gitu, mepet 3
    bln lagi buat yang 2016 ini. Gimana peraturan pemerintah soal ini bang
    jelasin yah.

  • karenanya, jalur terpendek dari London ke Rio de Janeiro itu melengkung, bukan lurus. aku tau Euclid dulu awalnya dari sini. jarak terdekat itu ga selalu garis yang tegak lurus. 😀 nice writing, bang.

    • Hello Vin, by the way, suratnya udah diterima yah. Cuma masih belum tau mau gimana balesnya. Hehe...

      Soal jalur terpendek dari London ke Rio itu, itu disebut sebagai non-Euclidian Geometry (karena bumi kita ini bukan bidang datar, melainkan bidang lengkung). Pada non-Euclidian Geometry, dari 5 postulat di atas, cuma postulat 1, 2, 3, dan 4 aja yang berlaku. Postulat ke 5 enggak. Relativitas Umum Einstein yang lagi rame diomongin karena baru aja ditemuin evidencenya itu pakai non-Euclidian Geometry ini. 🙂

      • wah, baguslah kalo gitu. well, i await it. 😀
        btw, aku cari-cari buku yg ngebahas tentang bukti RU Einstein, dan ternyata memang iya. makasih udh nambah wawasan aku.

  • Magicwithme

    Sebenernya postulat dasar bisa diterapin ke pelajaran ipa lainnya ga sih bang(kimia,fisika,bio)?

    ane jadi anak ipa hampir 3 tahun malah asing sama konsep postulat kayak gini ._.

    • Good question. Lebih dari good deh. Great bahkan.

      Jawaban dari pertanyaan lo inilah yang membedakan Matematika dengan Science. Gue pernah menyebutkan bahwa matematika itu bukan science. Karena cara kerja matematika itu adalah dengan menggunakan bukti (proof) seperti yang gue tunjukkan di atas. Tetapi cara kerja science beda.

      Yang disebut bukti pada science itu terjemahan bahasa inggrisnya adalah evidence, bukan proof. Kenapa? Karena evidence itu adalah bukti yang biasanya diperoleh dari hasil experiment, bukan dengan cara menurunkan dari postulat seperti pada matematika. Jadi setiap pernyataan di science, cara buktiinnya adalah dengan mencari evidence yang bisa mensupport pernyataan tersebut.

      Contohnya begini: Hukum Gravitasi Newton (F = G.M.m/r^2). Gimana cara buktiinnya?

      Caranya adalah dengan mengamati fenomena Fisika di luar sana. Apakah pergerakan planet itu konsisten dengan hukum itu? Apakah pergerakan komet, matahari, bulan, dsb konsisten dengan hukum itu? Ketika kita mengamati dan ternyata konsisten, itu artinya evidence-nya makin kuat bahwa hukum itu benar.

      Yang menarik adalah, ketika astronom mengamati Merkurius, ternyata ini nggak sesuai dengan Hukum Gravitasi Newton. Nah, berarti ada yang salah dengan hukum itu. Datanglah Einstein dengan Relativitas Umumnya. Ternyata Relativitas Umum Einstein lebih konsisten dalam menjelaskan berbagai fenomena Fisika di luar sana. Bahkan kamis lalu baru diumumin bahwa penemuan gravitational wave memberikan evidence lagi bahwa teorinya Einstein itu benar kan.

      • sejauh yang aku tahu, jika massa suatu objek itu relatif besar,dapat kita amati dengan mata telanjang, mekanika Newton berjaya. Tapi, kalo konteksnya udah ngebahas hal-hal yang relatif ekstrem, relativitas Einstein juara. Gitu gak sih?

      • Magicwithme

        memang sih kalo gak tau asal usulnya jadi lebih sulit buat mahaminnya pelajaran sains..

        Thanks penjelasannya bang , BTW nice artikel *thumbs up

  • Yus

    sorry melenceng. kapan nih ngepost artikel tentang buku2 lagi kaya bukunya stephen hawking yg the theory of everything, what if, the grand design, dll.. btw artikelnya bagus. jd pengen baca bukunya wkwk

  • Muhamad Ramdoni

    Sejarah tentang ini sangat minim mungkin dia ingin men'sedekah'kan. Seperti orang yang beragama Islam jika ia ingin memberikan sesuatu, ia pasti ingin sesuatu yang diberikan itu dari Hamba Allah "Bilang aja dari Hamba Allah", kurang lebih begitu. Mungkin lewat matematika, dia menemukan titik yang ada hubungannya dengan yang saya kasih simulasi tadi. Semua yang ada di bumi ini kan pasti berhubungan. Apapun itu. But, this is a good article. Dan gue termasuk orang yang baru tau dengan nama Euclid. Well, thank you banget. Dan sorry nih gue bawa agama karna ada di dalam pikiran.. haha.

  • math, is it invented or discovered? or is it both?

    • Filosofis buanget ini pertanyaannya. Jawaban gue: math is discovered. Matematika udah ada jauh sebelum manusia ada. Ketika planet berputar mengelilingi bintang, perputaran itu mengikuti persamaan matematika kan? Begitu juga berbagai fenomena alam lainnya. So, matematika itu ditemukan.

      Meskipun demikian, bahasa dan simbol-simbol matematika yang kita gunakan, itu tentu dibuat oleh manusia. Simbol tambah, bagi, kali, kurang, pangkat, sama dengan, dsb... itu semua dibuat untuk mempermudah kita mengerti matematika yang ada di alam ini.

      Kalau kata Galileo:

      Philosophy [nature] is written in that great book which ever is before our eyes -- I mean the universe -- but we cannot understand it if we do not first learn the language and grasp the symbols in which it is written. The book is written in mathematical language, and the symbols are triangles, circles and other geometrical figures, without whose help it is impossible to comprehend a single word of it; without which one wanders in vain through a dark labyrinth.

      ― Galileo Galilei

  • Wira Drana

    maaf bang oot, mau tanya, Panduan Belajar UN Fisika SMA 2016 kok ga ada bang?

  • March

    Kak, bahas tentang Euler dan konstanta e-nya dong, penasaran gua soalnya kenapa konstanta itu doang bisa dapet "perlakuan khusus" di matematika (kayak log basis e dijadiin ln), hehe

    Katanya itu kan juga salah satu penemuan paling luar biasa (dan ribet) di matematika ya

  • Khusna Azizah

    demi apa gue nemu wangsit ini? bro, sist, mbak, mas sekalian.... awalnya gue benci matematika tiba-tiba gue jatuh cinta. sumpah daah cinta ama matematika, hanya karena postulat dan trigonometri. akhirnya kalo nemu soal yang kagak bisa malah jadi penasaran.... hahahha.... thanks zenius....

  • arya putra

    bang kan tadi disebut itu the elemnts bahas tentang definisi titik ,karena saya gak punya bukkunya ,mau tanya nih.

    sebenarnya titik itu ada atau tidak ada?

    karena pertanyaan ini yang menjebak saya di sekolah tadi dan kata guru saya titik tidak ada.dan saya masih berpikiran titik itu ada

    jawban yang bener yang mana ?btw itu pernyataan didasarkan sama ciri"titik :titik tidak punya ukuran dan panjang,memiliki tempat,dll .bisa dijelasin bang?

  • azrul kiromil

    permisi, kak Wisnu. kepikiran mau request something nih tp mungkin bkalan agak ribet dan panjang 😀 sblmny, melalui artikel ini juga jadi pengen baca sendiri buku "The elements". so excited! 😀 ooh iya balik ke request tdi kak hehe. kak, bisa nggak post artikel gmana kalkulus ditemukan melalui proses yg panjang dalam sejarah? hehe (Y) makasih kak 🙂

  • Mei Tambunan

    makasi atas info ny dan terimakasi bnyak atas bukuny, sgt membantuu..

  • Widya Apuri

    Oke, kayaknya gua telat banget ya baru baca postingan ini sekarang HAHAH tapi gapapa skip.
    Setelah banyak artikel yg gua baca, ada satu hal yang membuat gua bertanya, kebanyakan tokoh2 ilmuan yang gua baca itu mereka juga jadi filsuf. Dan gua skrg kuliah (walaupun baru sem1) trs dpt matkul 'logika', yang bukunya itu dibuat sama orang2 yang lulusan filsafat, tapi isi bukunya itu macem2 materinya mulai dari gimana cara berfikir kritis, trs induksi, deduksi, dll. Yang akhirnya membuat gua bertanya, kenapa para filsuf bisa jadi ilmuwan juga? apa karena bener katanya filsafat itu adalah dasar dari segala imu? Tapi kenapa bisa filsafat bisa dijadiin dasar dari semua ilmunya itu ya bang? Semoga pertanyaan ini terjawab yaa:) thankyouu